中学数学で習う｢最も基本的な数｣はナゾだらけ…天才数学者たちを悩ませ続ける｢素数｣の未解決問題
※本稿は、NHK「笑わない数学」制作班編『笑わない数学』（KADOKAWA）の一部を再編集したものです。
■最も基本的な数「素数」
「素数」は中学校の数学で学習することが多いですが、その意味を覚えていますか？
素数とは「1と自分自身でしか割り切れない自然数」です。
具体的には
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、……
といった数です。
素数は無限に存在することが、古代ギリシャの数学者ユークリッドによって証明されています。
また、素数は「数の原子」とも呼ばれています。その理由は、どんな数でも素数の掛け算に分解（素因数分解）できるからです。
例えば、10＝2×5、30＝2×3×5のように分解できますね。
このように、素数とはすべての数のもとになっている最も基本的な数なのです。
この最も基本的な数である素数には多くの謎（未解決問題）が存在します。
例えば、次の「ゴールドバッハ予想」があります（図表1）。
この予想について、4から順に確かめてみましょう。
6＝3＋3
8＝3＋5
10＝3＋7 もしくは 10＝5＋5
10までは確かに2つの素数の足し算で表せますね。
もっともっと大きい数も2つの素数の足し算で表せるような気がしますが、ゴールドバッハ予想は今もなお素数に関する謎の1つなのです。
■なぜ「気まぐれな並び方」をしているのか
他にも、3と5、5と7、11と13のように仲良く隣り合っている素数のペア「双子素数」に関する次の謎があります（図表2）。
このように素数には多くの謎が存在するのです。
その謎の中には、何世紀もの間、天才数学者たちを悩ませてきた素数最大の謎があります。それは、次の「素数の並び方」に関する謎です（図表3）。
次の表は自然数を1から200まで並べ、素数に色をつけたものです（図表4）。
どうでしょうか？ 素数が現れるタイミングはとっても気まぐれで、ばらばらだと思いませんか？
数の原子とも呼ばれ、すべての数の基礎となっているはずの素数なのに、なんでこんなに気まぐれな並び方をしているのか？
この謎は何世紀もの間、数学者を悩ませてきました。
ここでは、数学者たちからも一目置かれる3人の天才数学者が、この「素数の並び方」の謎に挑んだ歴史を紹介いたします。
■2人の天才数学者の挑戦と「意外な発見」
最初に紹介するのは、18世紀を代表するスイス人数学者レオンハルト・オイラーです。オイラーは、まるで息をするかのように計算するといわれた天才数学者です。
素数の並び方の謎に挑むことにしたオイラーは、まず、素数を1つ1つ自分の手で探すことから始めました。
そして頭の中で、素数に出会ったときだけ段があがる階段、いわば「素数階段」を想像してみたのです。
もちろん、パソコンも電卓もない時代でしたので、オイラーは地道に手計算で素数を求めたことでしょう。素数階段の段を踏みしめ、素数が現れるタイミングに何か規則があるのかと、思考を巡らせたはずです。
しかし、オイラーは、素数の並び方の謎を解決することができませんでしたが、素数に関する次の重要な式を発見しました（図表6）。
（左辺が素数だけでできている、ということを覚えていただければ十分です）
そこへ、オイラーと入れ替わるようにして天才数学者カール・フリードリヒ・ガウスが現れます。ガウスは数学史上最大の天才ともいわれ、3歳のときに父親の計算間違いを指摘したという逸話が残されています。
そんなガウスもまた、オイラーがのぼった素数階段を頭の中でのぼり始めました。
そして、ガウスは「ある計算をすれば、素数階段の高さがわかる」と予言したのです。
この予言は、素数の並び方の謎を解決するものではありませんでしたが、「ある数以下の素数が何個あるか」という並び方の謎に迫る大発見でした。
■今もなお未解決の難問中の難問「リーマン予想」
オイラーとガウスの発見をさらに進化させる人物が現れます。ドイツの天才数学者ベルンハルト・リーマンです。
リーマンが素数の謎を解くためのヒントにしたのは、オイラーが発見した素数だけでできたこの式でした（図表7）。
リーマンはこの式の肩の数2をsに変えた式「ゼータ関数」を考え始めました（図表8）。
（難しい式ですが、この式も素数だけでできている、ということを覚えていただければ十分です）
そして、リーマンはこのゼータ関数の大きさを立体的なグラフに描き、グラフの高さが0、つまり「ゼロ点」と呼ばれる点に注目したのです。
不規則な素数だけで作られたゼータ関数なので、ゼロ点もあたり一面ばらばらに散らばっているかと思われましたが、3つほどゼロ点を求めたリーマンは、ゼロ点の位置がぴたりと一直線上に並んでいることに気づいたのです。
そして、リーマンは、今もなお未解決の難問中の難問であり、最も重要だといわれている「リーマン予想」を予想したのです（図表11）。
■素数の並びと宇宙の法則のナゾ
最後に、数学と量子物理学の意外なつながりを紹介いたします。
1972年、数学者ヒュー・モンゴメリー博士と物理学者フリーマン・ダイソン博士の偶然の出会いが、まったく予想もしなかった新発見をもたらします。
モンゴメリー博士は、他の数学者とはまったく違うアプローチでリーマン予想を研究していました。博士はばらばらな素数と関係があるゼロ点なのに、「ゼロ点同士の間隔」は比較的均等に並んでいると気づいていました。
そして、モンゴメリー博士は次の「ゼロ点の間隔を表す式」を発見します（図表12）。
そのことを知ったダイソン博士は大変驚きました。なんとその式は、ウランなどの重い原子核のエネルギーレベルの間隔を表す式とそっくりだったのです（図表13）。
素数に関するゼロ点の間隔と、宇宙を構成する原子の中心にある原子核のエネルギーレベルの間隔に不思議なつながりがあるという大発見は、世界中の数学者たちを突き動かすことになりました。
素数の並びと宇宙の法則。この2つに一体どんなつながりがあるのか。研究者たちは今もその謎を追い続けています。
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NHK「笑わない数学」制作班パンサー尾形貴弘が難解な数学の世界を大真面目に解説する異色の知的エンターテインメント番組。レギュラー番組としてNHK総合テレビで、シーズン1が2022年7月から9月まで、シーズン2が2023年10月から12月まで放送された。シーズン1はギャラクシー賞テレビ部門の2022年9月度月間賞に選ばれた。過去の番組はNHKオンデマンドやDVDで確認することができる。
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（NHK「笑わない数学」制作班）
