あの人は、なぜ解法がひらめくのか？そのヒミツは「数学の考え方」にあった！発想を生む「13個の考え方＝発見的問題解決法」で問題へのアプローチを見つかる
わからない理由がわからない……近年の数学力の顕著な低下、さらに算数・数学嫌いという人も多くいます。これは、いったいなぜでしょうか。
「やり方」の暗記に偏った教育の影響で、試行錯誤を通じた理解が欠如したり、公式の暗記に頼る傾向が強まった結果、「問題を解決しようとする能力」が低下しているのではないか、そう指摘するのが、45年以上にわたって数学教育に携わってきた数学者の芳沢光雄さんです。
「数学は“13個の考え方”で理解できる！」として、13個の「発見的問題解決法」を、パズル問題・あみだくじ・じゃんけんなどの豊富な実例から、その思考プロセスを解説。さらに、算数から中学・高校・大学への数学へと段階的に発展させていきながら、さまざまな学問分野への応用までを解説した『数学の考え方 発見的問題解決法ーーひらめきを生む思考へ』が注目されています。
「わからない理由がわからない」に答える、この画期的なこの本から、まずは13個の「考え方＝発見的問題解決法」ご紹介します。
「発見的問題解決法」は応用の幅が広い！
前回の記事『数学の「なぜわからなくなるのか？」がわかるようになる「考え方」を伝授！13個の「発見的問題解決法」で「発見する数学」の楽しさへ』に続き、本稿では、発見的問題解決法の以下の7個を紹介する。これらは、数学のみならず、さまざまな分野に広く応用することができるが、紙幅の関係で、ここでは軽く触れる程度にする。
・一般化して考える。
・特殊化して考える。
・類推する。
・兆候から見通す。
・効果的な記号を使う。
・対称性を利用する。
・見直しの勧め。
日常にも応用できる「一般化して考える」思考法
はじめに、算数・数学の世界での一般化を見てみよう。
3桁同士の筆算（縦書きの掛け算）を学んだ次に、n桁同士の掛け算に「一般化」することができること。
60＝2×2×3×5
のような素因数分解を学んだ次に、
5（xの3乗）＋15（xの2乗）＋10x＝5x（x＋1）（x＋2）
のような因数分解を学ぶこと。
そのように、算数・数学の世界での一般化には例外はないのである。
もし、ある人が、「3つの辺の長さが3、4、5の三角形は、
3の2乗＋4の2乗＝5の2乗
が成り立つ直角三角形である。実は、3つの辺の長さがa、b、cの三角形で、
aの2乗＋bの2乗＝cの2乗
が成り立つものの大半は直角三角形になるが、中にはそうならないものもあるんだ」などと発言したら、お酒を飲んでいても批判されることになるだろう。
実社会での一般化した発言等を見ても、以下のようにさまざまなものがある。
・血液型が〜型だから、きっと・・・という性格なのよ（血液型性格分析は科学的にはまったく根拠なし）
・元気になったら病院の薬は飲まなくていいんだ
・入試での採点は公平だが、願書を早く出した者の方が合格者の割合は多い（筆者が勤めたいくつかの大学で、チェックした合格発表に関して言えたこと）
そのように、実社会での一般化した発言の中身はいろいろで、議論で相手を打ち負かすための聞き苦しい一般化も少なくない。しかし、「源氏物語は紫式部がすべて一人で書いたのか」という疑問に関して計量文献学からの研究も盛んなように、実社会での一般化した話題は統計的な分析があるとよいだろう。
◆一般化でわかる「じゃんけん」が有利になる方法
一つの例として、筆者がかつてゼミナール生と一緒に調べた「膨大なじゃんけんデータからの有利な方法」がある。
30年近く前に勤めていた城西大学数学科の4年ゼミナール生10人が725人から集めた、のべ11567回のじゃんけんデータの記録が残っている。725人の各々が、10〜20回のじゃんけんをして得たものであり、次のような集計結果となる。
のべ11567回のじゃんけんデータの内訳は、グーが4054回、チョキが3664回、パーが3849回。
したがって、「じゃんけんでは一般にパーが有利」だといえる。そのデータに関して心理学的には、「人間は警戒心をもつと拳を握る傾向がある」という説明のほか、「チョキはグーやパーと比べて出し難い手である」という説明もある。
また、そのデータから別の特徴も見える。2回続けたじゃんけんはのべ10833回であったが、そのうち同じ手を続けて出した回数は2465回であった。
ここで、「2回続けた」の意味を説明する。たとえば、自分はじゃんけん10回戦を行って、順に
グー、グー、パー、チョキ、グー、パー、パー、パー、チョキ、グー
と出したならば、そのうち、1回目と2回目、6回目と7回目、7回目と8回目が同じ手を続けて出したことになる。したがって、この場合は2回続けたじゃんけんがのべ9回（1回目と2回目、2回目と3回目、・・・、9回目と10回目）で、そのうち同じ手を続けて出した回数は3回となる。
10833回のうちで2465回という数が意味することは、「人間は同じ手を続けて出す割合は1/3よりも低く1/4近くしかない」ということである。この1/4という数字はかなり小さいのである。
なぜならば、癖のないじゃんけんを考えてみよう。たとえば、サイコロを投げて、1と2の目が出たらグー、3と4の目が出たらチョキ、5と6の目が出たらパーと決めてじゃんけんを行うと、同じ手が続く確率は1/3である。だからこそ、1/4という数字はかなり小さいのである。
そのことから、「2人でじゃんけんをしてあいこになったら、次に自分はその手に負ける手を出すと、勝ちか引き分けになる可能性は3/4もあって有利」という結論が得られる。
もちろん、統計データに頼らないで、きちんとした理由から一般化して述べてよいと考えるものもある。たとえば筆者が度々述べていることで、「中学校で学ぶ作図文はタクシーなどでの道案内に役立つ」がある。
一般化した表現にある不備な点に注目することが思わぬ発展に繋がることがある、ということも述べておきたい。
特殊化して考える
はじめに、算数・数学の世界での特殊化を見てみよう。
一般的に成り立つ「解の公式」や「三平方の定理」に具体的な数値を代入して調べることも特殊化ではあるが、ここでは発見的問題解決法を念頭に置いていることを踏まえると、以下の3つを述べておく。
●文字を用いた恒等式を計算する問題や、文字を用いた形で一般的に成り立つ性質の証明問題などで、文字に具体的な数値を代入してみること。
●一般的な形で与えられた図形の問題で、具体例となる図形をいくつか想像してみること。
●存在するか否か分からない極端な例を模索してみること。
実社会での特殊化して考える例を見ても、以下のように様々なものがある。
「大体あなたのような〜の人は、皆、……なんだから」というような、議論で相手を打ち負かすための聞き苦しい一般化に関しては、「〜であって、……でない人は、△さんのように結構いますよ」という反例も特殊化ではある。
2006年前後に、毎年のように秋田県大仙市立西仙北西中学校に泊まり掛けで出前授業に出掛けた（現在は過疎化から廃校）。その学校は「オオクチバス駆除後の動物相の変化について」で、日本学生科学賞の文部大臣賞に輝いたこともあって、筆者は2008年2月6日の読売新聞秋田版にお祝いのメッセージを載せたことがある。
校長先生からは毎年のように学校の周辺を案内しいただき、楽しい思い出がたくさんある。その中の一つで忘れられないものとして、「田んぼの稲の生育状況調査」がある。
たとえば、次のような台形に近い田んぼの場合、最も長い対角線上の3つの均等な場所で調査するのである。この特殊な3ヵ所での調査で、最終の米の収穫予想として適当なものになるそうである。
上の米に関する話題は「偏りのない調査」の一つであるが、およそ人間の意識調査では、最低、以下の4つのことに注意しなければならない。
・割合だけでなくデータ数をきちんと公表しているか
・誘導質問になっていないか
・記名か匿名か
・質問時間は妥当か
一昔前のことであるが、テレビの報道番組で20％、40％、50％などの割合ばかりが並んでいるニュースがあった。翌日にテレビ局に問い合わせたところ、案の定、データ数はたったの10人であった。
対象の構造を見通す「類推する」という考え方
算数・数学の世界で「類推する」というと、主に［2次元の図形の性質→3次元の図形の性質］や［素因数分解→因数分解］のように、静的で構造的な世界で用いられることが普通である。
実社会での「類推する」の応用例として、初めに簡単なものを紹介しよう。
たとえば8cmぐらいある細長い羊羹（ようかん）を4人で順に分けて食べるとき、普通は2cmぐらいずつ公平に切って、仲良く食べるだろう。それを最初の2人が傲慢（ごうまん）で、後の2人が公平な心をもっているとき、最初の2人は3cmぐらいずつ切って食べると、残りの2人は1cmぐらいずつ食べるしかないのである。
実は上のことを類推して、次のようなことをよく実践している。
筆者は現在、介護施設に週に5日ぐらい通って、母親の介護を頑張っている。スポーツクラブに寄ってから帰宅するので、疲れから帰りの電車は空いているに越したことはない。終電近くの中央線の下りにはよく乗るが、広く知られているように、中央線は様々な理由から遅延することがしばしばである。本原稿を書いている5月16日もそうであったが、30分近く遅れていた最後から4本目の電車は非常に混んでいた。そして、最後から3本目の電車も非常に混んでいた。そこで上の羊羹のことを類推して、残り2本の電車はガラガラになると予測して、実際に空いていた最後から2本目の電車に乗って帰宅したのである。
次に、応用の世界での「類推する」を考えると、筆者にとってよく頭に浮かぶことは実験計画法に近い「デザイン論」の世界である。次の3つの例は拙著で詳しく説明することである。（例1を類推して、例2や例3に気付く。）
◆例1（下図参照）
7人で構成する会社があり、その会社に関する仕事は、どれも3人のグループから成り立っている。そして、7人のうちからどの2人を選んでも、その2人が一緒に入るグループはちょうど1つだけある。
7人の集合は｛1,2,3,4,5,6,7｝で、グループは以下の7つである。
｛1,2,3｝、｛3,4,5｝、｛1,5,6｝、｛1,4,7｝、｛2,5,7｝、｛3,6,7｝、｛2,4,6｝
◆例2（存在する）
23人で構成する会社があり、その会社に関する仕事は、どれも7人のグループから成り立っている。そして、23人のうちからどの4人を選んでも、その4人が一緒に入るグループはちょうど1つだけある。
◆例3（存在しない）
8人で構成する会社があり、その会社に関する仕事は、どれも3人のグループから成り立っている。そして、8人のうちからどの2人を選んでも、その2人が一緒に入るグループはちょうど1つだけある。
1990年代の半ばからいろいろな数学教育活動を行ってきた中で、「あみだくじの仕組み方」は常に好評であった。たとえば、横線がまだ引かれていないあみだくじの原形の状態で、A、B、C、D、E、Fそれぞれがどこに辿り着かせたいかを誰かにリクエストしてもらう。
Aが3、Bが5、Cが6、Dが1、Eが4、Fが2に辿り着かせたいとしよう。詳しくは何冊かの拙著や記事に述べたが、以下の図の順によってリクエストに応えるあみだくじを作るのである。
上で紹介したあみだくじの仕組み方は、もちろん何人の場合にも使える。ところで、Aが3、Bが5、Cが6、Dが1、Eが4、Fが2に辿り着かせるあみだくじは、他にもたくさん作れる。
しかし、上の例では横線の本数は9本であったが、一般に辿り着かせる先が全部一致するあみだくじ同士では「横線の本数が偶数か奇数かは一意的に定まる」という性質がある。この性質は大学数学の「偶置換・奇置換の一意性」というものと同値（本質的に同じこと）であり、あみだくじだけを用いた筆者によるその証明は日本数学会誌58巻に収録されている。
本年6月18日に刊行される、13個の発見的問題解決法をメインにした『数学の考え方 発見的問題解決法ーーひらめきを生む思考へ』のなかで、日本数学会誌58巻に載せた証明を可能なかぎり平易に書き直して載せている。
兆候から見通す
週に5日ぐらい介護施設に通って母親の介護を頑張っていると、親の体調の変化は誰よりも早く気付くようになる。天気が悪くない日は必ず車椅子での散歩に連れて行くが、母親はどうしても行きたくない日は「行きたくない」という返事をする。不思議なもので、そのような日の翌日には何らかの病から入院した。一方、「散歩に行くよ」と伝えてOKの返事があると、親の体調は悪くないので安心できるのである。
ようするに、「兆候から見通す」では微妙な変化に常日頃から観察していることが大切なのだろう。2024年8月23日に、アメリカ大統領選挙に無所属で立候補を表明していたケネディ氏が選挙活動を中止し、共和党のトランプ前大統領を支持すると表明した。
その直後から暗号資産は24時間で約5％も上昇したことを見て、筆者は11月の大統領選挙は「トランプ氏が有利」を予想した。なぜならば、ケネディ氏もトランプ氏も暗号資産には友好的な姿勢を示してきたからである。なお筆者は当時、トランプ、ハリスのどちらの候補を支持するものではなく、数字で表れる兆候だけに関心があった。
さて、2010年の出版以降、細々と売れ続けている拙著『新体系・高校数学の教科書（上下）』には、以下のような兆候から見通す題材も述べた。
90年代後半に、違法な闇金融の「トイチ」がいろいろ話題になったときがある。10日間ごとに1割の利子が複利でかかるもので、たとえば1万円を借りて1円も返さない場合、10日後の元利合計は11000円、20日後は12100円、30日後は13310円となる。
これはとんでもない暴利であることを訴えることを示すために、対数計算を用いて次のことを書いた：たった1円をトイチで10年間借りっぱなしにすると、10年後の元利合計はなんと1000兆円を超える。
出資法による上限金利は、2000年6月以降は年利29.2％がしばらく続いた。2006年になって、元本額に応じて上限金利を年利15〜20％に定めた利息制限法と出資法の間にあるグレーゾーンが問題になって、それは廃止された。
等比数列の和の公式を用いて次のことを書いた：100万円のお金を月利2.5％（年利30％）で借りて、元利均等返済によって60カ月で完済する場合、のべ返済額は約194万円になる。
ある製品に関する市場がA社とB社で二分されているケースを考える。A社製品を使用しているユーザーが来年もA社製品を使用する確率は8割で、来年はB社製品に変更する確率は2割とする。一方、B社製品を使用しているユーザーが来年もB社製品を使用する確率は7割で、来年はA社製品に変更する確率は3割とする。
このような推移は毎年ほぼ一定とし、その状態を2行2列の確率行列で表して計算すると、市場シェアはA社が6割、B社が4割という一定の割合に落ち着くことになる。確率行列の話題は一般の「n行n列の行列」に拡張できるが、一方で、かつての高校数学では「2行2列の行列」をきちんと学んでいた時代があったことを思い出す。
微分方程式に関しても、かつての高校数学では導入部分をそれなりに学んでいて、大学入試にも出題されていた。多くの自然現象を語る道具として微分方程式は必須なものである。
微分方程式を学ぶならば、個体数の分析ばかりでなく、新しい製品の市場規模の分析にも適用されるロジスティック曲線も学びたいものである。
効果的な記号を使う
時計の文字盤などで目にするローマ数字は、16世紀頃からアラビア数字（算用数字）に主役の座を譲った。524×263をローマ数字で記述するならば、
「DXXIV」と「CCLXIII」
の掛け算を表さなければならない。誰が見ても算用数字の方が便利である。
数学で用いる記号は、このようにそれぞれ変化、洗練されてきた歴史をもっている。どれも、あいまいでなく、覚えやすく、見やすいという面をもつ。
「数学には分からない記号や式があるから嫌い」という人達が、とくに日本では多くいるように感じる。それに関しては、知らない道路標識の意味を質問する気持ちになって、気軽に質問すればよいとアドバイスしたい。
そして指導する側に対しては、「勇気をもって分からない数学記号や数式の意味を質問してきた生徒に対して、間違っても［そんなことも知らないのか］とか［もう忘れちゃったの］と言わないでください」、と研修会などで度々訴えてきたことを思い出す。
数学やビジネスなどの問題を考えるとき、各自で創作した記号を用いることはもちろんよいと考える。ただ、その記号はきちんと定義できなくてはならない。
対称性を利用する
多くの動植物を見ると、左右対称の部分がたくさんある。一方で、蟹の脚のように対称でない部分もあり、それらの理由を調べるととても面白い。
「対称性を利用する」ということに関しては、算数や中学数学で学んだ“対称”というイメージをやや広く捉えるものも含まれるとする。対象を図形以外のものも含むとし、その対象の中に同じ構造や同じ変化が見られるとき、それらの部分に注目して「対称性がある」ということにする。そして、その部分を拠り所にして、課題の研究や問題の解法に役立てるのである。
環境問題でよく取り上げられるダイオキシンは、図に示したジ・ベンゾ・パラ・ジ・オキシンの周りにある水素Hが塩素Clに1つ以上置き換わったものである。置き換わる塩素の数は、1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8のどれかであるが、その数が同じでも構造が異なる化合物はいろいろ考えられる。
もちろん、ひっくり返したり回転したりして一致するものは同一の化合物と考える。対称性を利用して、ダイオキシン（の異性体）は全部で何種類あるか数えてみる問題では、化学の知識は不要で、正確に数えることだけが求められる。
ものの個数を数える練習にもなる問題で、答えは全部で75種類ある。
筆者としては、とくに「スライドパズル（15ゲーム）」や「あみだくじ」について対称性を利用して論じることが面白く、それらはまとめて書くつもりである。
見直しの勧め
「見直しの勧め」に関しては、理科関係では「失敗の実験」と思われたものから「新しい発見」が見つかったことがたくさんある。算数・数学でも、「間違ったこと」から「新たな展開」が生まれることがいくつもある。筆者が研究していた群論やデザイン論でも、見直しによって大きな間違い（勘違い）を発見し、それが新たな発展に繋がった例がある。
そのようなことがきっかけとなって、「見直しの勧め」を一つの発見的問題解決法に含めることに至った。見直しに関するアドバイスはいろいろあるが、これだけは絶対に外せないというものがある。時間に限りがある試験中では無理であるが、「時間を置いてから見直すと間違いは見つかり易くなる」ということである。
レポートを書いた直後では見つからない間違いも、少し時間を置いてから見直すと意外と間違いは見つかるものであり、大学教員時代は学生に何度も勧めていたことを思い出す。もっとも、筆者は脳の研究に関しては無知なので、その訳は何も分からない。
大学教員人生45年間で、複数の大学で何回かの入試数学責任者を経験した。楽しい思い出もいろいろあるが、複雑な思い出が未だに残っていることがある。マークシート試験では機械で一斉に採点する前に一部を手で採点して、機械の採点プログラムが正常に作用することのチェックを行う。
そのとき、「解答欄が1つズレていれば、ほとんど正解ではないか」と気の毒に思った答案を何回か目にしたことがある。「仕方がない」と言えばそれまでかも知れないが、筆者は一生忘れないだろう。
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