｢微分は実生活で使わない｣と思う人に欠けた視点
微分は実生活のどういうところで使われているのでしょうか（写真：Rina／PIXTA）
世の中のさまざまな仕組みを数学を使って解明することで、物事を⾒る視野が広がります。今回は高校数学で学ぶ「微分」について、現役東大生の永田耕作さんが解説します。
大人でも間違って答えてしまう距離の問題
皆さんは「微分」「積分」という言葉を聞いたことはありますか？
おそらくYesと答える人が多いでしょう。しかし、「微分積分とはどのようなものか説明してください」と言われたらどうでしょうか。微分積分が数学の中でいったいどのような概念で、何に使われているのかを理解している人は少ないのではないでしょうか。
まずは、以下の問題を考えてみてください。
停まっていた車に乗ったあなたは車のアクセルを踏み、時速30kmまで加速させました。そして、その速度で2分間運転をした後、ブレーキを踏み、再び車を停めました。運転をする前に停まっていた車の位置から進んだ距離を答えてください。
この問題に、難しい数学の専門用語はまったく使われていません。一見、小学校の文章題でやるような、速さと時間と距離の問題です。しかし、実は大人でも間違って答えてしまうことが非常に多いのです。
時速30kmを分速に直して1分間当たりに車が進む距離を求め、それを2倍すればよい、と思った人が多いのではないでしょうか。
その計算をすると、答えは以下のようになります。
30km×1/60=500m
500m×2=1000m=1km
しかし実はこの問題の答えは1kmではありません。なぜこの計算では答えを出すことができないのか。ここに、これから説明する「微分」の考え方が隠されているのです。
もしこの問題が「時速30kmで車を2分間運転した場合、車はどのくらいの距離を進みますか？」という文章題の場合は「1km」が答えになります。もしくは、車が一瞬で時速30kmまで加速し、ブレーキをかけた瞬間に停まることができる場合もこの答えは正しいのですが、残念ながらそんなことはありませんよね。
速度計に表示されている時速が0km/h（停まっている状態）から始まってが1km/h、2km/h、3km/h……大きくなっていき、逆に減速する場合は30km/hの状態から29km/h、28km/h、27km/h……と小さくなっていくでしょう。
その速度変化にどのくらいの時間がかかったか、つまりどれだけの勢いで加速、減速したかによってこの問題の答えは変わってくるのです。
微分は関数の「変化率」を表す操作
ではこの時速はいったいどのように測られているのでしょうか。実はここに、皆さんが一度は聞いたことがあるであろう「微分・積分」という数学の単元が役立っているのです。
「微分・積分」とは、微積分学として知られる数学という学問の中の1つです。日本の現行の教育制度において、高校数学の数学�兇�ら数学�靴砲�けて学習する単元になっています。微分・積分は関数の挙動や変化を理解し、数学的に記述するための重要なツールとして重宝されています。
微分とは、関数の「変化率」を表す操作のことです。ある関数の微分を計算することにより、その関数がどれだけの急さで上昇または下降しているかを示すことができます。微分は接線の傾きや速度、加速度などの物理的な概念を記述するために使用されています。
それに対して積分は、関数の面積または累積を計算する操作のことです。関数が表す領域の面積や、関数値の合計などを求めることができます。積分は、物体が移動した距離を求めたり、あるものの面積や体積を計算したりために使用されています。
堅苦しい言葉での説明にはなってしまいましたが、これを聞くと、冒頭で出題した問題に微分・積分が使われていることがある程度納得できたのではないでしょうか。微分・積分の基本的な概念を確認したうえで、あらためて「時速」について考えてみましょう。
時速30kmとは、言葉のとおりに考えると「1時間で30km進める速さ」ということです。冒頭でも計算しましたが、1分に直すと「÷60」をして0.5km、つまり500mですね。よって、この「時速30km」を、「分速500m（1分間で500m進める速さ）」と言い換えることができます。
「時速30km」を測定する方法
この「時速30km」っていったいどのように測っているのでしょうか？
1時間運転し続けて30kmの道のりを進んだ場合、その間の時速は当たり前に30km/hとなります。しかし、数分の運転でも速度計に時速は表示されますよね？ ましてや、1時間運転をし続ける間でも直線で加速したり、カーブで減速したり、渋滞や信号待ちで停止したりなど、運転の状況に応じて時速は目まぐるしく変化します。では、その速度を測るためには一体どうすれば良いのか。ここで「微分」が登場するのです。
先ほど、時速を分速に直しました。その際には「÷60」という計算をしましたね。これをさらに「÷60」すると、1分は60秒であるため、秒速を出すことができます。
このように、時間と進んだ距離の両方を同じ数で割っていくことで、より短い間隔での速度を計算することができるのです。これを極限まで小さくしたもの、つまり「瞬間の速さ」を求めることこそが微分なのです。
例えば、1時間で30km進んだ車を考えたときに、平均の速度は時速30kmですが、実際は常に同じスピードだったわけではありません。もし前半の30分で10km、後半の30分で20km進んでいた場合は、前半の時速は20km/h、後半の時速は40km/hとなります。
これをもっと分解して、最初の10分で3km、次の10分で2km、その次の10分で5km……と考えていけば、時速はそれぞれ18km/h、12km/h、30km/hと計算することができます。これを0.1秒、0.01秒といった次元で行って逐一計算した値が、デジタルの速度計に表示されているのです。
具体的には、自動車のタイヤの車軸に回転数を測るセンサーがついており、その回転数をコンピューターが速度に変換する計算を行っています。
非常に簡潔な計算で説明すると、1回転で1m進む自動車のタイヤが0.1秒間で2回転した場合、その0.1秒間での時速は、1秒間で20回転できるスピードであるため、
20m/s（秒速20m）=1200m/min（分速1200m）=72000m/h（時速72000m）=72km/h（時速72km）
より、72km/hと求めることができます。
この動作を0.1秒ずつ、いやもっと細かなスパンで瞬時に行い続け、それをリアルタイムで速度計に表示させ続けているのです。この「微分」を利用した計算方法で、冒頭の問題でもあるような加速時・減速時の瞬間瞬間の速度を導き出している、ということなのです。
天気予報にも微分の考えが使われている
微分が使われているのは、もちろん速度メーターだけではありません。皆さんが日常でよく目にするであろう「天気予報」にも、この微分の考えが使われています。簡単に説明すると、「天気が決まるためのさまざまなパラメーターの中から一部を抽出し、その変化を分析することで今後の動きを予測する」ということを行っています。
例えば、ある地点から500km離れたところに雨雲があり、その雨雲が1時間に100kmのスピードで移動しているとします。その場合、5時間後に雨が降るのではないか、と予測を立てることができます。
しかし、1時間に100kmのスピードで移動していた雨雲が、1時間後にはそのスピードが時速80kmに減速していたら、「この先も雨雲の移動スピードは遅くなり続け、停滞するのではないか」という予測を立てることができます。
もちろん実際の雨雲の動きはもっと複雑であるため、観測する時間の幅をもっともっと小さくして、その瞬間瞬間の大気の動きを捉えていくのです。そして、その動きの変化から、未来の動きを予測する。それがまさに、「微分」なのです。
皆さんが普段何気なく目にしていたものに、高校数学で習う微分・積分は広く用いられています。その仕組みを理解することで、より効率的に、より楽しく物事に触れられるようになるのではないでしょうか。
（永田 耕作 ： 現役東大生・ドラゴン桜チャンネル塾長）
