東大生解説､実生活で便利な数学｢順列｣理解のコツ

2024年6月20日 12時30分

東洋経済オンライン

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試合の組み合わせなどを考える時にも役立ちます（写真：pocketalbum／PIXTA）

数学を使って世の中の仕組みを知ることで、物事を見る視野が広がります。現役東大生の永田耕作さんが数学の魅力について解説する連載『東大式「新・教養としての数学」』。今回は「順列・組み合わせ」について解説します。

6チームから2チーム選んで対戦させると全部で何試合？

今年もプロ野球のペナントレースが行われ、試合のたびに数万人の観客が球場に集まり、毎日盛り上がりを見せています。プロ野球の試合はいわゆる「総当たり」戦という、それぞれのチームが満遍なく対戦できるような仕組みで行われています。

今回は、この総当たりについて数学的に分析します。この仕組みや考え方を知っておくと、物事の順番や組み合わせを考える際に、漏れや抜けを防ぐのに役立ちます。

さっそくですが、こちらの問題を解いてみてください。

問題①： 6つのチームの中から2チームを選んで対戦させるとき、総試合数は何試合になりますか？

この問題を見て、AはB～Fとの対戦で5試合、BはA、C～Fとの対戦で5試合……となり、よって求める選び方は6チーム×5試合で30試合。

と考えた人もいるのではないでしょうか。この問題の答えは30通りではなく、それを2で割った15試合になるのです。答えが30試合になるのは以下の問題です。

問題②：A～Fの6つのチームの中から2チームを選んで対戦させます。ホームとビジターでそれぞれ1試合ずつ対戦する場合、総試合数は何試合になりますか？

問題①であれば、A対BとB対Aは同じものとして扱われます。どちらがホームなのかの区別が行われていないからです。

一方、問題②では「A×B」と「B×A」は別のものとして扱われます。Aのホームで行われる「A×B」とBのホームで行われる「B×A」は、別の試合とカウントされるからです。

高校数学的にいえば、問題①は選ぶものの順序を考慮しない「組み合わせ（C）」、問題②は順序を考慮する「順列（P）」となります。

プロ野球の試合数で感じた疑問

ちなみに、プロ野球の試合数について、僕はかつて疑問に思ったことがあります。プロ野球のレギュラーシーズンの試合数は、1チーム当たり143試合です。昔は144試合でしたが、スケジュール管理や、クライマックスシリーズへの接続などのさまざまな問題から、2015年シーズンより試合数が1試合減って143となりました。

その当時、僕が思ったのは、

「1試合だけ減らしてしまったら、各チームとの対戦数にばらつきが生じてしまうのではないか」

ということです。例えば、6つのチームと1チームあたり3試合を行う場合、合計の試合数は18試合。つまり、プロ野球の合計試合数は対戦チーム数の「倍数」になるはずではないかと考えたのです。しかし、かつての144試合でも、今の143試合でも「それぞれのチームと同じ試合数行う」という条件は達成しています。

実際の答えは次のようなものでした。

まず大前提として、6チームのリーグであれば、1つのチームが対戦するチーム数は「6」ではなく「5」になります。自分のチームと対戦することはないので、6から1を引いた5チームと対戦することになります。

しかし、交流戦の場合はカウント方法が変わります。交流戦は、自分が所属していないリーグのチームと対戦するため、チーム数はそのまま「6」となります。よって、総試合数は以下の式で表すことができるのです。