東大生解説､実生活で便利な数学｢順列｣理解のコツ
試合の組み合わせなどを考える時にも役立ちます（写真：pocketalbum／PIXTA）
数学を使って世の中の仕組みを知ることで、物事を見る視野が広がります。現役東大生の永田耕作さんが数学の魅力について解説する連載『東大式「新・教養としての数学」』。今回は「順列・組み合わせ」について解説します。
6チームから2チーム選んで対戦させると全部で何試合？
今年もプロ野球のペナントレースが行われ、試合のたびに数万人の観客が球場に集まり、毎日盛り上がりを見せています。プロ野球の試合はいわゆる「総当たり」戦という、それぞれのチームが満遍なく対戦できるような仕組みで行われています。
今回は、この総当たりについて数学的に分析します。この仕組みや考え方を知っておくと、物事の順番や組み合わせを考える際に、漏れや抜けを防ぐのに役立ちます。
さっそくですが、こちらの問題を解いてみてください。
問題� � 6つのチームの中から2チームを選んで対戦させるとき、総試合数は何試合になりますか？
この問題を見て、AはB〜Fとの対戦で5試合、BはA、C〜Fとの対戦で5試合……となり、よって求める選び方は6チーム×5試合で30試合。
と考えた人もいるのではないでしょうか。この問題の答えは30通りではなく、それを2で割った15試合になるのです。答えが30試合になるのは以下の問題です。
問題�◆�A〜Fの6つのチームの中から2チームを選んで対戦させます。ホームとビジターでそれぞれ1試合ずつ対戦する場合、総試合数は何試合になりますか？
問題�，任△譴弌�A対BとB対Aは同じものとして扱われます。どちらがホームなのかの区別が行われていないからです。
一方、問題�△任蓮�A×B」と「B×A」は別のものとして扱われます。Aのホームで行われる「A×B」とBのホームで行われる「B×A」は、別の試合とカウントされるからです。
高校数学的にいえば、問題�，倭�ぶものの順序を考慮しない「組み合わせ（C）」、問題�△禄臀�を考慮する「順列（P）」となります。
プロ野球の試合数で感じた疑問
ちなみに、プロ野球の試合数について、僕はかつて疑問に思ったことがあります。プロ野球のレギュラーシーズンの試合数は、1チーム当たり143試合です。昔は144試合でしたが、スケジュール管理や、クライマックスシリーズへの接続などのさまざまな問題から、2015年シーズンより試合数が1試合減って143となりました。
その当時、僕が思ったのは、
「1試合だけ減らしてしまったら、各チームとの対戦数にばらつきが生じてしまうのではないか」
ということです。例えば、6つのチームと1チームあたり3試合を行う場合、合計の試合数は18試合。つまり、プロ野球の合計試合数は対戦チーム数の「倍数」になるはずではないかと考えたのです。しかし、かつての144試合でも、今の143試合でも「それぞれのチームと同じ試合数行う」という条件は達成しています。
実際の答えは次のようなものでした。
まず大前提として、6チームのリーグであれば、1つのチームが対戦するチーム数は「6」ではなく「5」になります。自分のチームと対戦することはないので、6から1を引いた5チームと対戦することになります。
しかし、交流戦の場合はカウント方法が変わります。交流戦は、自分が所属していないリーグのチームと対戦するため、チーム数はそのまま「6」となります。よって、総試合数は以下の式で表すことができるのです。
総試合数= 5×（セ・リーグのチームとの対戦数）+6×（交流戦でのパ・リーグのチームとの対戦数）
このように、2つのかけ算の合計で試合数が決定します。
例えばセ・リーグに所属している中日ドラゴンズが、同じセ・リーグに所属する他の5つの球団とそれぞれ24試合ずつ行い、交流戦でパ・リーグに所属する6つの球団とそれぞれ4試合ずつ行うと、
総試合数=5×24+6×4=120+24=144
となり、2014年までの年間試合数であった「144試合」が導き出されます。
なぜ143試合にできた？
ではなぜ、2015年以降は143試合にできたのか。
実は、4試合ずつ行っていたパ・リーグのチームの対戦数を3試合に減らす一方で、セ・リーグの各チームの対戦数を24試合から25試合に増やしたのです。
総試合数=5×25+6×3=125+18=143
このように、身近にあるスポーツなどの試合にも数学的な面白さが隠れています。
（永田 耕作 ： 現役東大生・ドラゴン桜チャンネル塾長）
