東大生解説､数学嫌いでも｢積分｣学んでほしい根拠
積分を学ぶメリットについて解説します（写真：Rina／PIXTA）
世の中のさまざまな仕組みを数学を使って解明することで、物事を⾒る視野が広がります。今回は高校数学で学ぶ「積分」について、現役東大生の永田耕作さんが解説します。
車はいったいどれだけ進んだ？
前回の記事（｢微分は実生活で使わない｣と思う人に欠けた視点）では、車の問題を出題して「微分」について解説しました。今回は「積分」について考えてみたいと思います。以下の問題を考えてみてください。
停まっていた車に乗ったあなたは車のアクセルを踏み、等しい加速度で10秒間車のスピードを上げ、時速30kmまで加速しました。そして、その速度で2分間運転をした後、ブレーキを踏み、等しい加速度で10秒間車のスピードを下げ、再び車を停めました。運転をする前に停まっていた車の位置から進んだ距離を答えてください。
いかがでしょう？ 問題条件が複雑で、どこからどのように考えればよいかわからない、という人も多かったのではないでしょうか。
しかしこの問題は、条件的には実際の車の動きに即した問題になっています。車のアクセルを踏んだ瞬間に時速30kmまで加速できるわけではありませんし、ブレーキを踏んだら一瞬で車が止まることもありません。
では、このような問題はどのように考えればよいのか。ここで使うのが「積分」の考え方です。
積分とは、数学や物理学などの領域で用いられる概念です。時間によって変化する事柄や、片方の値に応じてとる値が変化する関数を、範囲を定めて数値的に評価することができます。この積分を使うと、先ほどの問題はこのように考えることができます。
以下のグラフでは、横軸を時間、縦軸を速度としています。また、車を走らせ始めた時間を「0」として、それぞれの時間ごとの速度変化を表しています。
問題条件に合わせて速度を考えると、最初の10秒間は右肩上がりのグラフ、時速が一定になってからの2分間は横軸と平行な直線に、ブレーキを踏んで停車しようとしている最後の10秒間は右肩下がりになります。
実は積分の考えを用いると、このグラフと横軸（時間の軸）でできる図形の面積を求めることで問題の答えである「進んだ距離」がわかるのです。
台形の面積を求める公式で計算してみる
この問題の場合は、台形の面積を求める公式を用いてみましょう。台形の面積は、
「（上底＋下底）×高さ÷2」
で求めることができます。今回の場合において、上底は「2分」、下底は「2分20秒」、高さは「時速30km」であるため、求める答えは
（2分＋2分20秒）×時速30km÷2＝時速30km×2分10秒＝1km+1/12km
つまり、加速と減速の部分で1/12km、80m以上も進んでいることになるのです。
面積を求めることで、時間によって速度が変化する物体の移動した距離の合計が求められてしまう、という事実は困惑する人も少なくないかもしれません。その場合は、速度が一定だったとして考えてみましょう。
このように、例えば一定の速度「時速30km」で車を2時間走らせた場合、車が進んだ距離は「時速30km×2時間」で60kmとなります。これは、縦の長さ30、横の長さ2の長方形の面積の値と同じになります。速度が一定でなくても、同じように面積を考えれば移動した総距離は求められるのです。
球体の体積を求める方法も積分で出せる
この積分の足し合わせる概念は、世の中のさまざまな場所に用いられています。
例えば皆さん、バレーボールのような球体の「体積」の求め方を覚えていますか。小中学校の数学で習うこの体積の求め方は、体積を「V」とすると
「V＝4/3 πr3 （πは円周率3.14… rは球の半径）」
と表されます。この公式を学生時代に頑張って覚えたという人も多いと思いますが、この公式にはもちろん積分によって編み出されています。球体を薄い円がいくつも連なってできたものだと捉え、その1つひとつの円の面積を足し合わせて全体の体積を出しているのです。
実際に数式で見てみましょう。積分の公式を解説すると難しくなるため、ここでは例示しませんが、ここでは「r」を積分すると「1/2r2」になり、「r2」を積分すると「1/3r3」となるということだけ覚えておいてください。
円の面積を「S」とすると、「S＝4πr2」と表されます。Sをrで積分すると、r2→1/3r3となることから、4πr2→4/3πr3（＝V）となります。
微分積分の考え方は、概念を理解していれば数学以外の場面でも応用することができます。物事を分解して、その一瞬一瞬での変化を捉え、それを合わせることで全体の動きを測る。この考え方を知っていると物事を分析する際の視野が広がると思います。
（永田 耕作 ： 現役東大生・ドラゴン桜チャンネル塾長）
