｢視野が広い人｣だけが一瞬で解ける図形の超難問
「広い視野」で考えないと、見落としが発生しやすくなります
「算数から勉強をやり直して、どうにか東大に入れた今になって感じるのは、『こんなに世界が違って見えるようになる勉強はほかにない』ということです」
そう語るのが、2浪、偏差値35から奇跡の東大合格を果たした西岡壱誠氏。東大受験を決めたとき「小学校の算数」からやり直したという西岡氏は、こう語ります。
「算数の考え方は、『思考の武器』として、その後の人生でも使えるものです。算数や数学の問題で使えるだけでなく、あらゆる勉強に、仕事に、人生に、大きくつながるものなのです」
そんな「思考の武器」を解説した45万部突破シリーズの最新刊、『「数字のセンス」と「地頭力」がいっきに身につく 東大算数』が刊行され、発売すぐに3刷と好評を博しています。
ここでは、「視野が広い人」なら解ける、図形の難問を解説してもらいます。
数学を学ぶと「視野が広くなる」わけ
数学は、視野の広さを養ってくれる科目だと言われています。
例えば、普段の生活の中で「垓（10の20乗）」とか「無量大数（10の68乗）」とか「無限」とか、そんな大きな数を使うことってあまりありませんよね。
でも数学では、膨大な桁の数を扱うことがあります。2を100乗して31桁の数を計算したり、「無限」というのが答えになる問題があったり。普段使わない大きさの数や、考えたこともないほど膨大な桁の数を使う機会が何度もあります。
そうすると、自分の見えていなかった世界に触れることとなり、視野が広くなり、物事を大きな目線で捉えることができるようになる、と言われているのです。
それを体感させてくれる問題が、この問題です。
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「線と2つの円に、接する円を、すべて書きなさい」という問題ですね。みなさんもぜひ考えてみましょう。条件に当てはまる円の数は何個でしょうか？
「接する」というのは、交わるわけでもないし、交わらないわけでもない、スレスレで1点だけでくっついている状態のことです。1つ例を挙げるのなら、こんな感じですね。
赤い丸が、線と2つの円に接している形になっています。「こういう円を何個書けるのか」というのがこの問題です。
「内側」「外側」で分けて考える
みなさんは、どれくらいの円を描くことができるでしょうか？ この問題は、2つまではすぐに思いつきます。先ほどの赤円は外側で両円と接している円でした。そしてそれに対して、内側で両円と接する円があります。
このような、緑の円ですね。
そして、同じように考えれば、もう2つ円を考えることができます。先ほどが「内側と内側」「外側と外側」という関係でしたから、「内側と外側で接する円があるのではないか？」と想像することができます。
そうしてよく考えると、内側と外側で接する円が2つあることに気づけると思います。これを考えると、次のような4つの円が考えられるでしょう。
この4つの円で終わりなのではないか、と考える人も多いでしょう。でも実はこの問題、さらに4つ、追加で接する円があります。さて、どこにあると思いますか？
答えを先に書くと、こうなります。
実はこの青い円のように、とても大きな円が存在しているのです。大きすぎるので、多くの人はこの円の存在に気づけないのですが、実はここにも存在しているんですよね。
全容を描写すると、こんな感じになります。とんでもない大きさですね。
こうやって見れば、先ほどの円が「小さな円」に見えます。これが「小さな円」だと考えられれば、大きな円が見えてきます。
ということで、条件に合う円の数は以上の8つとなります。みなさんは何個考えることができましたか？
【2024年10月5日14時30分追記】初出時、解答となる円の数に誤りがあったため、上記のとおり訂正いたしました。
数学で「俯瞰して見る」力を鍛える
この大きな円に気づけるかどうかのポイントは、「物事を俯瞰して見ることができるかどうか」です。
何度もお話ししているとおり、先ほどの円を「小さな円」として捉えることができれば、「大きな円」の存在に気づくことができるようになります。逆に言えば、今見ているものがすべてだと考えてしまうと、「大きな円」は見えてきません。
数学の問題を解いていると、このような「自分の意識していない部分にも答えがある」という体験を何度もすることになります。そうすると、「自分が見ているものはすべてではないのかもしれない」という「俯瞰する視点」を自分の中にインストールすることができるようになっていきます。
俯瞰的な視点を手に入れるために、ぜひ数学の勉強をやってみてもらえればと思います。
（西岡 壱誠 ： 現役東大生・ドラゴン桜2編集担当）
