｢低金利でも数百万円｣3000万住宅ローン返済総額に驚愕
■固定1％の住宅ローンの返済総額はいくらか？
私ごとで恐縮だが、6年前に家を購入した。一括払いはムリなので、35年のローンを組んだ。超低金利が続く現在、自宅購入を検討しているビジネスパーソンも多いことだろう。たとえば、いま家賃8万円の賃貸マンションに住んでいるとする。3000万円の新築マンションが月々8万円のローン（35年返済）で買えるとすれば、心が動かされるのではないか。
しかし、注意が必要だ。毎月の返済額は8万円でも、35年間払い続けたときの総額は金利分を含むと3000万円よりも多くなる。ところが案外、そうした点を気にしていない人が多いように感じる。そこで今回は、実際にいくらの負担になるのかを数学的に求める。
まず3000万円のマンションを、全額借り入れで購入するとしよう。金利は1％（固定）で、35年のローンを組む。返済方法は毎月の返済額が一定となる「元利均等返済」とする。
住宅ローンの支払総額の計算方法を説明する前に、用語の意味を確認しておこう。住宅ローンで金利と記載されている場合、これは「1年間の金利（年利）」を表している。
たとえば、30万円を銀行の定期預金に預けたとき、1カ月後の受取金利は「300,000×1％＝300,000×0.01＝3000円」ではなく、「300,000×1％／12＝300,000×0.01／12＝250円」となる。この年利（1％）を1カ月単位に直した利息（1％／12）を月利という。住宅ローンは月々の返済だから、支払月利をベースに計算する。
■1カ月後の返済残高を計算する
具体的に見ていこう。まず、1カ月後の返済残高を計算する。「（1＋月利）×借入額−毎月返済分」だ。（1＋月利）をr、借入額をM、毎月返済分をaと置くと、「1カ月後の返済残高＝rM−a」と表すことができる。
同様に2カ月後の返済残高を計算すると、「（1＋月利）×（1カ月後の返済残高）−毎月返済分」となり、「r（rM−a）−a＝r²M−ra−a」（＝r²M−a（r＋1））と表せる。この式を言葉に置き換えると、「2カ月後の返済残高＝（1＋月利）²×借入額−（1＋月利）×毎月返済分−毎月返済分」となる。
35年ローンは「35×12＝420カ月」支払いを続けるので、420カ月後の返済残高を求めるには、この計算を繰り返せばよい。このとき等比数列の和の公式を使って計算すると簡単で早い。具体的には、「420カ月後の返済残高＝r⁴²⁰M−a（r⁴¹⁹＋r⁴¹⁸＋……＋r²＋r＋1）＝r⁴²⁰M−a（r⁴²⁰−1）／（r−1）」となる。最後の「a（r⁴²⁰−1）／（r−1）」の部分が等比数列の和の公式を使った計算。
そして、420カ月後の返済残高はゼロになるので、「0＝r⁴²⁰M−a（r⁴²⁰−1）／（r−1）」と表せる。さらに毎月返済分のaを求めるために整理すると、「a（r⁴²⁰−1）／（r−1）＝r⁴²⁰M」＝「a＝（r−1）／（r⁴²⁰−1）×r⁴²⁰M＝Mr⁴²⁰（r−1）／（r⁴²⁰−1）」となる。
この式を言葉で表したのが、図の毎月返済分の計算式だ。つまり、毎月8万4685円を420カ月（35年）支払うので、総支払額は「3556万7700円」になるというわけだ。なんと550万円以上も多く支払う計算だ。超低金利とはいえ、そんなに利子がかかるのかと驚くのではないだろうか。
----------
佐々木 淳海上自衛隊数学教官
1980年、宮城県生まれ。東京理科大学理学部第一部数学科卒業後、東北大学大学院理学研究科数学専攻修了。代々木ゼミナール講師を経て現職。著書に『身近なアレを数学で説明してみる』がある。
----------
（海上自衛隊数学教官 佐々木 淳 構成＝田之上 信）
