複雑な計算をしなくても、「工夫ひとつ」でここまで簡単になる、そんな解き方を紹介します

「算数から勉強をやり直して、どうにか東大に入れた今になって感じるのは、『こんなに世界が違って見えるようになる勉強はほかにない』ということです」

そう語るのが、2浪、偏差値35から奇跡の東大合格を果たした西岡壱誠氏。東大受験を決めたとき「小学校の算数」からやり直したという西岡氏は、こう語ります。

「算数の考え方は、『思考の武器』として、その後の人生でも使えるものです。算数や数学の問題で使えるだけでなく、あらゆる勉強に、仕事に、人生に、大きくつながるものなのです」

そんな「思考の武器」を解説した45万部突破シリーズの最新刊、『「数字のセンス」と「地頭力」がいっきに身につく 東大算数』が刊行され、発売すぐに3刷と好評を博しています。

ここでは、「九九を全部足したらいくつ？」という問題の解き方を、「王道」と「すごい工夫」の2パターン解説してもらいます。

小学生でも解ける「大学入試」の数学問題

みなさんは、「九九をすべて合計したら、どんな数になるのか」をご存じですか？


小学2年生から習う九九ですが、これをしっかりと理解しているかいないかによって、その後の人生で培われる頭の良さが変わってくると言っても過言ではありません。

やはり計算のスピードが速い人は中学に上がってからの数学も得意になりますし、数学的な思考が身に付いて思考のスピードも速くなります。

そして、その九九を本質的に理解できているかどうかを問う質問が、「九九をすべて合計したら、いくつになるのか」なのです。

みなさんはこの問題にどのように答えを出しますか？　もちろん99個をすべて計算して答えてもいいのですが、やはり頭のいい人は、うまく工夫して計算しています。

まず、いちばんオーソドックスに頭のいい答え方は、「1の段と比べて、2の段は2倍大きい」ということを使うやり方です。「1の段」は「1,2,3,4,5,6,7,8,9」で「2の段」は「2,4,6,8,10,12,14,16,18」となります。

ご覧いただくとわかるとおり、「2の段」は、そっくりそのまま1の段が2倍された数字ですね。3の段も同様で、「3,6,9,12,15,18,21,24,27」というのは、1の段を3倍した数になります。そうすると合計も3倍になりますね。ということで、以下のようになります。

1の段の答えの合計＝1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45
2の段の答えの合計＝1の段の答えの2倍＝45×2
3の段の答えの合計＝1の段の答えの3倍＝45×3
4の段の答えの合計＝1の段の答えの4倍＝45×4
5の段の答えの合計＝1の段の答えの5倍＝45×5
6の段の答えの合計＝1の段の答えの6倍＝45×6
2の段の答えの合計＝1の段の答えの7倍＝45×7
8の段の答えの合計＝1の段の答えの8倍＝45×8
9の段の答えの合計＝1の段の答えの9倍＝45×9

九九の答えの合計
＝45+45×2+45×3+45×4+45×5+45×6+45×7+45×8+45×9
＝45×（1+2+3+4+5+6+7+8+9）
＝45×45

ということで、「45×45」を計算すれば答えになります。答えは2025になりますね。

「そんな解き方が？」すごい工夫

さて、僕はこれがいちばん賢い計算の仕方だと思っていたのですが、東大生に聞いたら、これよりも何倍も頭の良い解答をしている人がいました。

まず、この図をご覧ください。これは、九九の答え81個をまとめた表です。

（外部配信先では記事中の図表などの画像を全部閲覧できない場合があります。その際は東洋経済オンライン内でお読みください）


この表の数すべてを足すと、九九の合計になります。

ここで、ちょっと工夫をしてみましょう。この表を4枚用意して、そのすべての数を足した後、4で割ることを考えるのです。

「九九の性質」を利用して「90度回転」を考える

「なぜわざわざ4枚用意するの？」と思うかもしれませんが、ここがポイントです。下の図のように、それぞれを90度ずつ回転させて、同じ場所の数字を足すんです。


すると、どの場所も、合計が100になるのがわかりますか？

赤枠で囲った部分の合計は4+16+64+16で100です。青枠は、48＋12＋8＋32で100です。


ランダムな場所でぜひ確認してほしいのですが、このように、実は90度ずつ回転させた4枚の同じ場所を合計すると、どのマス目でも合計は100になるのです。

ということで、このマスが81個あるので、81×100で8100、4で割って2025になります。


「なんでどのマス目も合計が100になるの？」と思うかもしれませんが、これはちゃんと説明がつきます。まず、あるマスの横をa、縦をbとすると、90度の関係性はこうなります。


赤に注目すると、a＝2、b＝3となる
赤：a×b……上の図では6
青：a×（10-b）……上の図では14
緑：（10-a）×b……上の図では24　
黄：（10-a）×（10-b）……上の図では56

この数の合計は、計算すると、どんな位置にあったとしても、100になることがわかります。

a×b＋a×（10-b）＋（10-a）×b＋（10-a）×（10-b）
＝ab+10a-ab+10b-ab+100-10a-10b+ab
＝100

となるからです。だからこれは100だと説明できます。

この方法を教えてもらったときは、さすがにびっくりしました。九九ってここまで奥深いのか、と。

やはり東大生は、ここまで考えているからこそ、頭が良くなっているのだと考えられます。ぜひみなさんも参考にしてみてください。

（西岡 壱誠 ： 現役東大生・ドラゴン桜2編集担当）