意外に解ける｢東大入試｣が思考力の訓練に使える

2024年6月6日 9時0分

東洋経済オンライン

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東大入試に出る数学は、意外と身近なテーマに関する問題が多いのです（写真：koro／PIXTA）

数学を使って世の中の仕組みを知ることで、物事を見る視野が広がります。現役東大生の永田耕作さんが数学の魅力について解説する連載『東大式「新・教養としての数学」』。今回は「東大入試から学べること」について解説します。

日常生活に絡んだ問題が多い東大入試

大学入試の中でも難関とされる東京大学の入試。毎年、多くの受験生が合格するために膨大な時間と努力を費やします。著者も東大を受験する時には、各教科20年分、多い教科は50年分以上も過去問を解き、問題の出題傾向を捉えようとしていました。

そのときに発見したことがあります。それは、「東大の入試問題には、日常生活に絡んだ問題が多い」ということです。

今回は、『東大式「新・教養としての数学」』ということで、東大の入試問題の中から、日常生活の1コマをテーマにした問題を2つ紹介していきます。ぜひ皆さんも答えを考えてみてください。

① タクシーをどのように手配するか

何人かで目的地へと移動する際に、タクシーを使用することはあると思います。タクシーは電車やバスなどとは違い、行きたい場所の目の前まで向かうことができるため非常に便利な乗り物ですが、距離に応じて料金が上がっていくので使い過ぎに気をつけているという人も多いでしょう。

大人数でタクシーを利用する際、問題になってくるのが「何台呼ぶか」です。例えば5人で移動する際、通常のタクシーでは2台必要ですが、ジャンボタクシーといわれる乗車可能人数の多いタクシーを呼べば1台で済む場合があります。ただ、ジャンボタクシーは台数が限られていたり、料金が高かったりするため、必ずしもその選択肢が正しいとは限りません。

このように、皆さんも直面したことがあると思われるタクシー問題。このタクシーの料金形態に着目した問題が東大で出題されているのです。

実際に解いてみよう

問題：何人かがある距離を自動車で行くとき、大型ならば2台、小型ならば3台いる。大型の料金は1台につき最初の1kmまでが100円、その後320mごとに20円を加える。小型の料金は1台につき最初の1kmまで70円、その後480mごとに20円を加える。どのような距離を行くとき小型を使うほうが有利になるか。（東京大学1952年一般数学）

この問題では、大人数で移動する際に、いわゆるジャンボタクシーを2台呼ぶか、小型のタクシーを3台呼ぶか、どちらのほうが安いのかについて、提示されている料金形態を利用して計算する問題になっています。

初乗り料金、そして距離ごとの料金はもちろん大型のタクシーのほうが高いのですが、その分1台少なくてよいので、距離が長くなってもあまり料金に差が出ないようになっています。

では、この問題はどうすれば解けるでしょうか。

実は、難しい計算はまったく必要なく、表を使って考えると、とてもわかりやすくなります。今回の場合、以下のようになります。

大型タクシー2台と小型タクシー3台の走行距離と運賃

※外部配信先では表を全部閲覧できない場合があります。その際は東洋経済オンライン内でお読みください

大型のタクシーと小型のタクシーで、料金が変わる距離のタイミングは異なるため、どちらも反映させています。料金を比較して小型のタクシー3台のほうが安くなるところは、1320～1480mと2280～2440mです。

大型2台、小型3台のどちらの場合でも、960mごとに120円ずつ料金が上がっていくため、2440m以上の移動距離となった場合も同じような料金の推移になることがわかります。

よって、この問題の答えは、

「1km以上の距離で、距離（m）を960で割った余りが360以上520未満の間になる区間」

というかなり限られた条件になります。この条件下では、大型のタクシーを使うほうが得になる区間が大きいのです。数学の能力を鍛えることで、こうした日常の判断がより正確にできるようになるメリットがあります。

水道料金も東大入試で出題されている

②水道料金のしくみを紐解くためには

多くの家庭が月ごとで払っている水道料金。毎月少しずつ料金が違うのを見て、「どういう仕組みで料金が算出されているんだろう？」と気になったことがある人もいるでしょう。実はこの水道料金も、東京大学では入試問題として出題されています。

問題：ある家で今年の1月と2月の水道の使用水量と水道料金とは下の表の通りであった。

1月：使用水量23立方メートル、水道料金332円

2月：使用水量19立方メートル、水道料金276円

その町の家庭用水道料金は「水道料金=基本料金+超過料金+メーター使用料」という式で計算される。基本料金とは一定の使用水量A立方メートル（Aは整数）までに対して払う料金120円のことであり、超過料金とはA立方メートルをこえた分に対し支払う料金のことで、1立方メートルごとにB円と定められている。またメーター使用料C円は使用水量に関係せず、10円の整数倍で50円以下である。このとき、上の表からA、B、Cを求めよ。（東京大学1960年二次試験数学Ⅰ代数、編集部で一部加筆）

この問題のポイントは、水道料金には「基本料金」という概念があることです。もしこれがなければ、使用した水の量に対して単純に水道料金をかけ算すればいいのですが、この基本料金があるため計算が複雑になっています。

式が一見複雑そうに見えますが、問題文をよく読んでみると「基本料金」「メーター使用料」は使った水の量にかかわらず一定であることがわかります。つまり、使用水量という1つの変数だけで料金の変化を表すことができるのです。

この問題でも、表を作って考えてみると視覚的なイメージがわいて問題が考えやすくなります。

地道な解き方が重要になる

このような棒グラフを描いて比較した際に、超過料金の差「332-276=56」で56円分が、1月と2月の使用水量の差である「4立方メートル」分になっているのです。このことから、問題のBは「56÷4」で14であることが分かります。

Bの値がわかると、次はCの値を絞り込んでいくことになります。問題文で「Cは10の整数倍で50以下」という文章があるため、Cの値は「10、20、30、40、50」のどれかであることがわかります。そして、Aも整数であるため、Cの値を色々と代入してみて、式が割り切れる値になるものを探す、というのがこの問題の進め方になります。

使用水量と水道料金を代入して式を立てると、「14A=110+C」となるため、110+Cが14の倍数になるようなCの値を探します。条件を満たすのはC=30しかないため、それを代入してA=10という値が求められます。東大で出されるような入試問題でも、このような地道な解き方が大事になることもあるのです。