意外と知らない｢1/3で割る｣の"意味"を納得解説
小学校の算数の中で、「分数の割り算」は大人がもっとも「よくわからない」分野の1つかもしれません。これを機に、きちんと感覚的にマスターしてしまいましょう（画像：pu-／PIXTA）
「算数から勉強をやり直して、どうにか東大に入れた今になって感じるのは、『こんなに世界が違って見えるようになる勉強はほかにない』ということです」
そう語るのが、2浪、偏差値35から奇跡の東大合格を果たした西岡壱誠氏。東大受験を決めたとき「小学校の算数」からやり直したという西岡氏は、こう語ります。
「算数の考え方は、『思考の武器』として、その後の人生でも使えるものです。算数や数学の問題で使えるだけでなく、あらゆる勉強に、仕事に、人生に、大きくつながるものなのです」
そんな「思考の武器」を解説した43万部突破シリーズの最新刊、『「数字のセンス」と「地頭力」がいっきに身につく 東大算数』が刊行されました。
ここでは、大人でも意外と知らない「分数の割り算」の意味について解説してもらいます。
「1/3で割る」の意味、説明できますか？
みなさんは、小学生のときに割り算をどのように習いましたか？
掛け算の九九を覚えた後で待っている次の関門が、割り算ですね。覚えることは多くないですが、しかしなかなか理解するのが難しい分野です。
実は東大に合格している人に話を聞くと、割り算に関して、本質的な理解をしている場合が多いです。逆に、割り算の理解が中途半端だと、その後の算数の勉強や中学・高校の数学の勉強も苦手になってしまう場合が多いのです。
今日はこれについて、みなさんにお話しさせていただきたいと思います。
まず、割り算に関して「何個かのものをいくつかに分ける」と解釈している人が多いです。
たとえば、6÷2を考えてみましょう。この数式を、「6つのものを2つに分ける」と考えて「3」と答えを出している人は多いのではないでしょうか。
小学校で、「6個のお菓子を2人で分けたら、3つずつだよね。だから、6÷2＝3なんだよ」というような説明を受けることは多いです。実際、この考え方はわかりやすいです。
しかし、その解釈だけで考えていると、分数が登場するタイミングで、よくわからなくなってしまいます。
例えば、6÷1/3って、どう考えればいいのでしょうか？ 「6つのものを1/3つに分ける」というのは、なんだかよくわからないですよね。
このように、「何個のものをいくつに分ける」という考え方だけでは、分数の割り算が理解できなくなってしまうのです。
割り算を本質的に理解している人であれば、ここでつまずくことはありません。
割り算は「1当たり」を計算するもの
結論を言うと、割り算は「割合」を考えるためのものです。割合とは、元にする量を1としたときの、比べる量を表す数のことです。つまり割り算は「1当たり、いくつか」と解釈する必要があるのです。
たとえば、先ほどの「6つのお菓子があったときに、2人で分ける」を考えてみましょう。
このとき、「1人当たり、何個のお菓子を食べることができる」のでしょうか？
この場合、「2人当たり6個」ですから、「1人当たり3個」のお菓子ととらえて、答えは3になります。「6つのお菓子があったときに、3人で分ける」を考えると、「3人当たり6個」で、「1人当たり2個」となります。
割り算を理解するときに、「6つのものを2つに分ける」と考えるのではなく、「1当たりに直していく」と考える――同じことを言っているように聞こえるかもしれませんが、こう考えると「分数の割り算」の意味がわかります。
たとえば、6÷1/3は「1/3あたり6なら、1あたりはいくつか」という意味になります。ということは、1/3と1を比べて、3倍になるので、6を3倍して18となります。
これは、ピザで考えるともっとわかりやすいかもしれません。
ピザが3枚で3600円のとき、1枚いくらでしょうと聞かれたら、3600÷3で1200円ですよね。
ではピザが1/3枚で400円だとしたら、1枚いくらでしょうか。割り算は「1当たり」を求める計算でしたから、「400÷1/3」で、1200円となります。
このように、割り算を「1当たりを求める計算」と考えると、普通の割り算と分数の割り算を、「同じもの」としてとらえることができるのです。
こう考えると「％」もちゃんと理解できる
この考え方を理解できていないと、「％＝パーセント」を習うときにも苦労して、こんな勘違いをしてしまう場合があります。
「100%の濃さのカルピスに、100%の濃さのカルピスを混ぜたら、200%カルピスができるはずだ！」
「3%の砂糖水と5%の砂糖水を混ぜたら、8%の砂糖水ができるのかな」
でもこれっておかしいですよね。
100mlで3gの砂糖が入った3%の砂糖水と、100mlで5gの砂糖が入った5%の砂糖水を混ぜたら、200mlの砂糖水ができます。この砂糖水に入っている砂糖は「3g＋5g＝8g」ですから、8÷200＝0.04で4％の砂糖水ができるだけです。当然、100%カルピスを2つ混ぜても、100%カルピスしかできません。
％とは、「100に対していくつに当たるか」という割合のことであり、先ほどの「1当たり」が「100当たり」になったものです。ですから先ほどの割り算の考え方がわかっていないと、これも間違えてしまいます。
たとえば、「3%の砂糖水」とはどういう意味でしょうか？ 計算式で書くと、「3g÷100ml」となります。
ですから、先ほどの感覚でいくと「1ml当たり、どれくらいの砂糖が入っているのか」ということですね。で、「100ml当たり3g」なので、3gを1/100にして、「1ml当たり、0.03g」となります。
「100%のカルピス」ではどうでしょうか？ これはカルピスの原液100mlと作られたカルピスの量が同じだと解釈できますから、「100ml÷100ml」、つまり「1mlあたり、1ml」のカルピスとなります。
これを2つ混ぜるということは、「（100ml＋100ml）÷（100ml＋100ml）=200ml÷200ml」となります。「200ml当たり200ml」であるということは、1mlあたりはどうでしょう？
2mlにはなりませんよね。「1ml当たり1ml」となります。ですから、割合としては「100%」で、変わっていないのです。
大人にとっても「割合」は必修科目
いかがでしょうか？ 大人になってからも、「割合」を使って物事を考えなければならないタイミングはとても多いです。
「○○率」という言葉はだいたい割合のことを示していて、「打率」だったら「1打席当たりに、ヒットの数はどれくらいか」という考え方です。「成功率」だったら「1回の挑戦当たりに、成功の数はどれくらいか」という考え方です。
割り算をわかっていないと、こうした「率」に対して誤解してしまい、失敗してしまうことがあるかもしれません。みなさんぜひ、ここで理解していただければと思います。
（西岡 壱誠 ： 現役東大生・ドラゴン桜2編集担当）
