｢約分の本質｣で小学生でも解ける大学入試問題
約分を「図でイメージ」できていれば、小学生でも解ける、といいます
「算数から勉強をやり直して、どうにか東大に入れた今になって感じるのは、『こんなに世界が違って見えるようになる勉強はほかにない』ということです」
そう語るのが、2浪、偏差値35から奇跡の東大合格を果たした西岡壱誠氏。東大受験を決めたとき「小学校の算数」からやり直したという西岡氏は、こう語ります。
「算数の考え方は、『思考の武器』として、その後の人生でも使えるものです。算数や数学の問題で使えるだけでなく、あらゆる勉強に、仕事に、人生に、大きくつながるものなのです」
そんな「思考の武器」を解説した43万部突破シリーズの最新刊、『「数字のセンス」と「地頭力」がいっきに身につく 東大算数』が刊行され、発売すぐに3刷と好評を博しています。
ここでは「約分の本質」を理解していれば小学生でも解ける、ある大学の入試問題を解説してもらいます。
小学生でも解ける「大学入試」の数学問題
計算が速い人は、頭をどのように使っているのでしょうか？
中学入試から大学入試の問題まで、「数のセンス」を測るための問題というのはたくさん存在しています。
それらの問題を通して、「計算が速い人かどうか」「数のセンスがある人かどうか」を問うています。
今日はその中から1問、みなさんに紹介させていただきたいと思います。
これは2017年に横浜市立大学で実際に出題された大学入試の問題です。
大学入試の問題ではありますが、実際には小学生でも考えることができる良問になっています。
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「約分して、既約分数＝これ以上割り切れない分数にせよ」というものです。問題は非常にシンプルですが、計算は非常に難解ですね。「298767」という一生使わない可能性が高いような6桁の数字が出されています。
これを順番に、「えーとこれ、3で割れるのかな」「7で割ったらどうなるだろう」と計算していくのはとても難しいと思いますし、時間もかかってしまいます。
高校に上がると「ユークリッドの互除法」というものがあるのでそれを使ってもいいのですが、実はこの問題、そんな難しい公式を使わなくても、小学生でも解けます。
「約分」を図でイメージできていますか？
まず、約分とはどのようなものか、みなさんはわかりますか？
たとえば6/10は、約分すると3/5です。分母と分子の両方を2で割ることができるから、「6÷2＝3」「10÷2＝5」とすることができるわけです。この両方を割ることのできる「2」という数字を公約数と呼び、基本的にはこの公約数を見つけるのが約分では重要になってきます。
これを図式化すると、このようになります。
10は「2の箱が5つ重なっている状態」だと表現できて、6は「2の箱が3つ重なっている状態」と表現できるから、3/5になります。9/15は3/5になりますが、これは、15を3の箱が5つ重なっている状態、9を3の箱が3つ重なっている状態と表現できるからですね。
そして、問題なのはこの分母と分子の「差」です。実はこの差も、同じように割り切れるはずなのです。「10＝2の箱が5つ重なっている状態」「6＝2の箱が3つ重なっている状態」なら、「10−6＝4も、2の箱が2つ（5つ−3つ）重なっている状態」だと言えます。
9/15も同じことが言えます。「15−9＝6」で、15も9も6も、全部3で割れますよね。
今回の問題では、298767と148953を約分したいのですから、両方を割れる共通の数字・公約数を探す必要があります。そうなると、298767と148953の差の数字もまた、同じ公約数を持っているのではないかと考えることができますよね。
そう思って差を計算すると、こうなります。
「298767−148953=149814」で、なんだかまた大きくてよくわからない数字が出てきてしまいましたね。この149814という数字、ぱっと見て、148953と非常に近いことはわかると思います。
同じことをもう一度、繰り返す
さて、「差の数字もまた、同じ公約数を持っている」ということを先ほどお話ししました。ということは、298767と148953と同様に、148953と149814もまた、同じ公約数を持っていることになります。そう考えて、この2つの差を計算してみましょう。
「148953−149814=861」となりました。この861、実はこの問題を解くうえで一番重要な数字です。298767も148953も149814もまた、861で割り切ることができるからです。以下の図のようになります。
173と174で、その間は1しかありません。861の箱が173個積み上がったのが148953で、174個積み上がったのが149814ということになります。そして、173個＋174個＝347個が積み上がったのが298767となるわけですね。
ということで答えは、分母と分子を861で割って、このようになります。
「173/347」が答えになります。一見膨大な計算が必要に見えますが、実はこれだけ圧縮できる問題だったわけです。
「算数の基礎」は数学を学ぶうえでとても大切
いかがでしょうか？ この問題は、「約分とはどういうものか」ということをしっかりと理解し、「差の部分も含めて公約数を探すことができるはず」と考えることができると、解けるようになります。
約分なんて、小学校高学年であれば誰でも習うものです。でも、それがこんなふうに難しくなって、大学入試で出題されることもあるのです。
やはり数学の勉強をするうえで重要なのは、その基礎となる算数の部分です。高校の問題についていけないからといって、高校の勉強を復習していてもなかなかうまくいきません。思い切って、中学校の勉強や小学校の勉強に立ち戻ったほうが、うまく成績が上げられるようになることがあります。
応用問題が解けるようになるためには、基礎問題がしっかり理解できているかどうかが重要だということです。ぜひみなさんも、今回の問題を通して「算数の重要性」を理解してもらえればと思います。
（西岡 壱誠 ： 現役東大生・ドラゴン桜2編集担当）
