とびきりの想像力が、女性初のフィールズ賞数学者を生んだ：マリアム・ミルザハニ【前編】
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「Quanta Magazine」に掲載された2014年フィールズ賞、ロルフ・ネヴァンリンナ賞についての記事を『WIRED』日本版が翻訳して転載。同誌はSimonFoundation.orgの編集部門によるもので、数学、物理学、生命科学の研究を通して科学への理解を促す目的で発行されている。
8歳のマリアム・ミルザハニは、才能あふれる少女が壮大な夢を成し遂げる物語を自分自身に語りかけていた。毎晩眠りにつくころ、物語の主人公は市長になったり世界中を旅したりといった壮大な夢を実現するのだった。
現在、スタンフォード大学の数学の教授である37歳のミルザハニは、いまも頭のなかで物語を描いている。その主人公は変わらず高い志を抱いているが、対象は以前と違って、双曲面、モジュライ空間、力学系だ。
数学の研究は、ある意味、小説を書く行為に似ていると彼女は言う。「さまざまな登場人物がいて、彼らについて徐々に理解を深めることができます。物語が進展したころ、ふとある登場人物のことを改めて見てみると、当初抱いていた印象とはまったく違う側面をもっていることに気付くのです」。
イラン人数学者である彼女は、いつでも自分の描く登場人物を追い続けていた。その物語の展開には数年を要することもある。
小柄ながら負けず嫌いなミルザハニは、彼女の専門分野において最難関の問題に不屈の精神で取り組み続けたことで、周囲の数学者から高い評価を得ている。「こと数学に関しては、彼女は大胆な志を抱いている」。彼女の博士課程の指導教官だったハーバード大学のカーティス・マクマレンは言う。
低い声と穏やかなグレイブルーの瞳は、ミルザハニのもつ平静な自信を表している。彼女は自身の業績を謙遜する。ある研究課題に対する自身の業績について問われれば、彼女は笑って、言葉少なになり「正直に言って、そう大きな功績などこれまで残したことはないと思ってます」と言う。今年の2月に、数学界最高の権威をもつフィールズ賞の受賞者に選ばれたことを告げるEメールが届いたときには、Eメールを送信したアカウントがハッキングされたと思ったと言うほどだ。そのフィールズ賞は、8月13日に韓国ソウルで開催された国際数学者会議で彼女に授与された。
一方、周囲の数学者はミルザハニの業績について褒めちぎる。「双曲線」幾何学の成立する面上の円を数える方法に関する博士論文は「実に見事だ」と、現在はシカゴ大学の数学研究者であり、ミルザハニと共同研究をしてきたアレックス・エスキンは言う。「教科書に掲載される類いの数学界の発見だと、すぐに分かるような内容だよ」。
ミルザハニの最近の業績のひとつは、ビリヤード台に関連する抽象的な面の力学に関する研究で、エスキンと共同で取り組んだ歴史に残る研究だ。その内容は、競争の激しい数学界において「10年に一度しか出てこないレベルの定理だろう」とシカゴ大学の数学研究者であるベンソン・ファーブは言う。
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Fields MedalMathematicsRecommendWIRED USWomanテヘランでの子ども時代
テヘランで過ごした子ども時代、ミルザハニは数学者になりたいとはまったく考えていなかった。当時の彼女の主な関心は、あらゆる本を読みつくすことだった。マリー・キュリーやヘレン・ケラーといった有名な女性の人生を描いたテレビ番組も観たし、フィンセント・ファン・ゴッホについて書かれた『Lust for Life』も読んだ。こうした物語の影響で、彼女は人生でなにか大きなことを成し遂げたいと漠然と考えるようになった。そう、例えば小説家になるなど、だ。
小さいころのミルザハニは、小説を書いたり読んだりすることを好む少女だった。当時は数学にそれほどの関心は寄せていなかった。Courtesy of Maryam Mirzakhani
ミルザハニが小学校を卒業するころ、ちょうどイラン・イラク戦争が終結を迎えようとしており、同時にやる気のある学生に対するチャンスが開かれはじめていた。彼女は試験を受け、テヘランのFarzanegan中学校に通う権利を手にした。優秀な才能開発国家機構が運営している学校だ。
「わたしは恵まれた世代だと思います」と彼女は言う。「ティーンエイジャーになったころには、多くのことがそれ以前よりもずっと安定していましたから」。
新しい学校に入学して最初の週、生涯の友人となるロヤ・ベヘシュティーに出会う。ベヘシュティーは現在、セントルイスのワシントン大学で数学の教授を務めている。
彼女たちは、学校近くの人であふれる商店街に並ぶ本屋によく足を運んだ。立ち読みは許されていなかったため、2人は適当に選んだ本を買った。「いま思えば、変なことですよね」ミルザハニは言う。「でも当時は、本がとても安かったんです。なので、わたしたちはすぐに買っていました」。
残念なことに、ミルザハニは中学校に入学した年、数学で良い成績を残すことができなかった。数学の教師は、彼女が特に才能をもっているとは考えず、それは彼女の自信喪失にもつながった。その年頃は「他人から自分がどのように見られているかがとても重要でした」と、ミルザハニは言う。「わたしは数学に対する関心を失ってしまいました」。
だが翌年になると、彼女はより熱心な教師に出会い、成績も劇的に向上した。「2年目からは、彼女は学内のスターだったわ」とベヘシュティーは言う。
ミルザハニは、Farzanegan女子高校に進む。そこで彼女とベヘシュティーは、高校生を対象に毎年開催されているプログラミングの大会、国際情報オリンピックに出場する高校生を選出するための国内大会に参加しないかと打診された。ミルザハニとベヘシュティーは、数日かけて問題に取り組み、6問中3問の問題をなんとか解いた。その大会では、生徒は試験を3時間以内に終わらせなければならなかったが、ミルザハニはとにかく、目の前の問題に取り組むことに興奮していた。
同様の大会で自分たちの能力を試すチャンスをもっと開拓したくなった2人は、校長のもとを訪れ、自分たちの高校と同レベルの男子校で教えられているような、数学の問題解決に関する授業をつくってほしいと懇願する。
「校長先生は、意志のとても強い人でした」ミルザハニは当時を振り返る。「わたししたちが心から強く望んでいることであれば、それを実現してくれる人でした」。イランの国際数学オリンピックチームが女子生徒を出場させた前例がないという事実も、校長の行動を止めることはなかったとミルザハニは言う。
「校長先生はとても前向きで楽観的に物事を考える人で、『あなたなら、できる。初めての事例になるだろうけど』と言ってくれました。このことは、わたしの人生にかなり大きな影響を与えました」
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Fields MedalMathematicsRecommendWIRED USWoman1994年、ミルザハニが17歳のころ、彼女とベヘシュティーは、イランの数学オリンピックチームに選ばれる。そして、数学オリンピックの試験で高い得点を記録し金メダルを獲得した。翌年、彼女は再出場し、満点を記録する。自分の可能性を広げられる大会に出場したことで、ミルザハニは、数学を深く愛するようになった。「いくらかの根気と努力を費やすことが、数学の美しさに触れるためには必要です」と彼女は言う。
現在に至っても、フランスのパリ・ディドゥロ大学のアントン・ゾリチいわく、ミルザハニは「自分の周囲で起きている数学のすべてに完全に夢中になっている17歳の少女のような印象」を与えると言う。
ハーバード時代
数学オリンピックで金メダルを獲得しても、数学の研究における成功が約束されているわけではないと、先述したハーバード大学のマクマレンは言う。「こうしたコンテストでは、すでに誰かが巧妙な解決法をもっている問題を入念につくりあげている。だが、研究においては、問題に対して解が存在するとは限らない」。しかし数学オリンピックの高得点取得者の大半と違い、ミルザハニは「自らのビジョンを描く能力をもっている」と、彼は言う。
両親とともにイランのイスファハンを訪れた際のミルザハニ。Courtesy of Maryam Mirzakhani
1999年に、テヘランのシャリフ工科大学で数学の学士号を取得したあと、ミルザハニはハーバード大学の大学院に進み、マクマレンの講義を受講しはじめる。当初、彼女は彼の話す内容についてあまり理解できなかったと言うが、そのテーマ、双曲線幾何学の美しさに魅了される。彼女はマクマレンの研究室に通い始め、彼を質問攻めにし、夢中でペルシャ語でメモをとった。
「彼女はある意味、斬新な想像力をもっていた」。自身、1998年のフィールズ賞受賞者であるマクマレンは、こう振り返る。「頭のなかで、自分の予測に基づいた想像図を描いていた。そして、研究室にやってきて、その図について説明するんだ。説明が終わると、彼女はわたしに向かって『これで合っていますよね？』と聞く。わたしはいつも、彼女がわたしのことを理解者だと感じてくれていることを誇らしく思ったよ」。
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Fields MedalMathematicsRecommendWIRED USWomanミルザハニは、双曲面に取り憑かれるようになる。
ドーナツ型のある表面上に開いた、ざっくり言えば鞍のようなかたちをつくっている穴。この双曲線ドーナツは、通常の空間ではつくることはできない。それらはあくまで、抽象的な概念上のもので、ある方程式にもとづいて距離と角度が計算されている場合においてのみ観察できる。その方程式のもとでは、面上に存在する想像上の生き物が「鞍」を形成する。
多数の穴の空いたドーナツには、無限に多くのパータンで双曲線構造が存在しうることがわかっている。大きな穴のあるドーナツから、狭い穴のもの、また両者を組み合わせたものまで。こうした双曲面が1世紀半前に発見されて以来、このテーマは幾何学における中心の研究対象のひとつとなり、数学やさらには物理の分野においても多くの関連分野をもつ。
だが、ミルザハニが大学院に入った時点では、そうした面に関する基本的な問題のいくつかに対して、解がまだ見出されていなかった。そのひとつが、ある双曲面における直線もしくは「測地線」に関するものだった。曲がった空間においても「直線」という概念は存在し、それは単に2つの点を結ぶ最短な線である。双曲面においては、平面上の直線のように無限に長く伸びる測地線もあれば、球面上の大円のように閉じて円になる線もある。
ある双曲面において、閉じた測地線の数はその長さが大きくなるにつれて指数関数的に増えていく。こうした測地線の多くは、始点と終点が結ばれる前に何度も交差する場合が多いが、わずかな割合が“シンプルな”測地線と呼ばれ、線上で交わることがない。そうしたシンプルな測地線は、「その構造と全体の面の幾何学を紐解く上で重要なもの」である。
ひとつの問いを解決するだけでも偉大だ
しかしながら、数学者はある特定の大きさの双曲面において、こうしたシンプルな閉じた測地線がいくつ存在するのかを特定することができなかった。閉じた測地線の円の中でも、シンプルなものは「ほぼ0パーセントの確率でしか起こらない奇跡」であるとファーブは言う。そのため、その数を正確に理解するのはとてつもなく難しかった。「ちょっとでも間違いをすれば、その存在を見逃してしまう」と彼は言う。
2004年に完成した博士論文において、ミルザハニはこの問いに対する解を示した。Lの長さのシンプルな測地線の数が、Lの長さと比例してどれだけ増えるかを導く方程式を考案したのだ。
その過程で、彼女はその他の2つの重要な研究課題の関連性を確立し、両方の問いに対する解を出した。ひとつは、いわゆる「モジュライ」空間と呼ばれる、ある面において存在可能な全ての双曲線構造の体積に関する問いだった。もうひとつは、プリンストン高等研究所の物理学者エドワード・ウィッテンが過去に提示した、弦理論に関連するモジュライ空間を位相幾何学を用いて測定する方法に関する予想を驚くべき方法で証明するものだ。
ウィッテンの予想を証明するのは非常に難しかったため、それを最初に証明した数学者であるパリ近郊のフランス高等科学研究所のマキシム・コンツェビッチは、その業績が理由のひとつとなり、1998年にフィールズ賞を受賞した。
両方の問題を解決することは「ひとつの問いを解決するだけでも大きな出来事であり、両者を結びつけたことはまた重大な出来事だ」とファーブは言う。ミルザハニはなんと、どちらもやってのけたのだ。
彼女の論文は、数学界のトップに位置する学術誌である『Annals of Mathematics』『Inventiones Mathematicae』『Journal of the American Mathematical Society』に掲載された。数学者の大半が、生涯一度もこのような偉業を成し遂げることはないとファーブは言う。「彼女はそれを博士論文でやり遂げたんだ」。
ミルザハニはいま、どんな目標を掲げ、挑戦しているのか。後編はこちら。TAG
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