知らないと解けない？基本の型が通用しない微分方程式の攻略法

YouTubeチャンネル「わんみん」のRitsuki氏が、「今週の微分方程式 #153 難易度：星４」と題した動画を公開した。動画では、基本的な解法の型に当てはまらない難易度の高い微分方程式について、数式の中の目立つ形を置換することで活路を見出すアプローチを解説している。

今回取り上げた微分方程式は、「y' = - y^2 / (1+xy)」。Ritsuki氏はこの問題の難易度が高い理由について、「変数分離形や同次形、線形など、皆さんが知っているような基本的な微分方程式の型のどれにも該当しないと思われるから」と説明する。

そのような未知の型に出会った際の定石として、「目立つ形を置換してみる」というアプローチを提案。本問においては、「xy」という塊が目立つため、「z = xy」と置くことで見通しが良くなると指摘した。さらに、「y' = (y/x) f(xy)」という形で表せる微分方程式は、この置換によって簡単に解けるようになると語り、今回の式も少し変形することでこの型に該当することを明示した。

また、別解として「独立変数の入れ替え」にも言及。「x」を従属変数、「y」を独立変数として書き換えることで、これまでの動画でも何度か登場した線形微分方程式に帰着させるアプローチも存在すると紹介し、多角的な視点を提供している。

動画の後半では、実際に「z = xy」と置いた解法を展開する。「y = z/x」と変形して微分し、元の式に代入して整理していくことで、数式が同次形に似たきれいな「変数分離形」へと変化する過程を板書で丁寧に解説。両辺を積分し、見事「y e^{xy} = A」という解を導き出した。

Ritsuki氏は「微分方程式は基本的に型を覚えて、その型に合うかどうかを判断して解くことが多い」としつつも、それ以外の形が出た場合には「うまく置換を思いつく必要がある」とまとめた。パズル的な要素も持つ微分方程式の奥深さを味わえる、実践的な解説となっている。