じつは、正六角形では、はじめの1枚で「強制的に決まってしまう」…驚くほどの並べ方ができる正方形タイル「無限の可能性」
ノーベル賞学者としても有名な天才物理学者・数学者のロジャー・ペンローズが、1970年代から半世紀にわたって探し求めてきた「ある図形」が話題になっています。
その名は「アインシュタイン・タイル」。
2023年にようやく発見されたその図形とは、いったいどのようなものなのでしょうか？
ペンローズが考案した「ペンローズ・タイル」を超える“幾何学上の大発見”について、ビジュアル重視でやさしく詳しく解説した『ペンローズの幾何学』が刊行され、たちまち大増刷と大きな反響を得ています。
パズル感覚で楽しむことができ、しかも奥深い「平面幾何」の世界を探訪してみましょう。
※この記事は、『ペンローズの幾何学』の内容から再構成・再編集したものです。
図形の表面に「描いて」みる
前回の記事では、敷き詰める図形の形状のみについて話してきましたが、こんどはその図形の上に「何かが描かれているケース」を考えます。
描かれているのは、単なる絵や色かもしれませんし、あるいは線や文字かもしれません。実際には、すべて空白のケースはむしろ少なく、表面になんらかのものが描かれていることが多いでしょう。
話を簡単にするために、畳のような長方形の図形の上に、「あ」という文字が書かれているものとします。
この、正方形2個分の長方形を「畳タイル」とよぶことにしましょう。畳タイルを1枚置いた状態から敷き詰めていく場合、上図の左の4枚に見られるように4方向がありえます。ここでは、右から3つめのように角が合わさり、同方向で字が普通に読める置き方を基本形と考えます。
このような格子状の並べ方は、最も単純なものです。しかし、他にもいろいろな並べ方があります。
「正六角形」を並べる方法
ここでまず強調したいことは、同じ形状による平面充填模様は、1通りとは限らないという点です。ただし、1通りしかないものも多くあります。
たとえば、正六角形を並べる方法は1通りしかありません。形状だけに着目すれば、正六角形を1枚置いて平面を埋めようとすると、残りは自動的に（強制的に）決まります。
それに対して正方形では、並べ方は何通りもありえます。
仮に表面に書かれているのが「あ」という文字ではなく、上半分が濃い青、下半分が水色の正方形からなる畳タイルだったとしましょう。
「正方形」の畳タイル
上半分が濃い青、下半分が水色の正方形からなる畳タイルからは、次の図中央や右に示すパターンが構成可能です。
並べ方を変えることで、こうして新たなデザインを生み出すことも可能となるわけです。
「印象の異なる」図形も
先ほども示した次の図をあらためて見てみると、右端の例では「あ」という文字を180度回転して逆さにしたパターンが登場しています。
このように、文字の方向や図形の並べ方を変えてもよいという条件が付与されると、話はさらに複雑にならざるをえません。
たとえば、あなたが表面を色分けされた畳タイルを使って、壁一面を埋めるよう頼まれたとします。その方法はいろいろとありえ、しかも出現する模様の全体的な印象が、かなり異なるものを作ることができるはずです。
ペンローズの幾何学
対称性から黄金比、アインシュタイン・タイルまで
「存在しない」と考えられてきた図形「アインシュタイン・タイル」が、2023年、ついに発見されました。 非周期モノ・タイルとよばれるこの図形は、いったいどんな形状で、どこがどうすごいのか?
数学者だけでなく、アマチュア愛好家によっても偉大な発見が続々となされてきた平面幾何の世界。 パズル感覚で楽しむことができ、しかも奥行きの深いこの分野で、「次の大発見」をもたらすのは、あなたかもしれない！
