「ドーナツの面積」をどう解く？あきとんとんが教える数学が得意な人の思考法

YouTubeチャンネル「【楽しい授業動画】あきとんとん」が、「ドーナツの面積を求めよ～数学得意な人の解き方教えます～【京都女子高校過去問】」と題した動画を公開した。動画では、京都女子高校の入試問題として出題されたドーナツ型の面積を求める図形問題を題材に、数学が得意な人が実践している問題解決の思考法を解説している。

問題は、大きな円の内部に小さな円があり、小円に接する長さ10cmの線分が引かれているというもの。この情報のみで、2つの円に挟まれたドーナツ型の面積を求める。あきとんとんはまず、「大きい円から小さい円を引いたら、このドーナツ型が求まる」と述べ、面積の式が「π(R^2 - r^2)」となることを図解した。しかし、大円の半径Rと小円の半径rを直接求めるための情報が足りず、解き進めるのが困難に見える。

ここで、あきとんとんは数学が得意な人がとる作戦として「問題で与えられている条件を全て使ったか」を確認することの重要性を説く。今回の問題で見落としがちな隠された条件が、「接する」という言葉である。円の中心から接点に線を引くと「必ず90度になる」という性質を利用し、補助線を引いて直角三角形を作り出す手順を実演した。

直角三角形が現れると、「三平方の定理」が使えるようになる。斜辺が大円の半径R、他の2辺が小円の半径rと5cm（10cmの半分）であることから、「R^2 = r^2 + 5^2」という関係式が成り立つ。これを変形すると「R^2 - r^2 = 25」となり、最初の面積の式にそのまま代入できる形が出現する。あきとんとんは「Rの2乗引くrの2乗が出てきたら万々歳」と語り、答えが25π平方センチメートルになる鮮やかな解法を披露した。

一見すると情報不足に思える図形問題でも、与えられた条件を漏れなく見直し、図形の性質を組み合わせることで道が開ける。あきとんとんは「問題で詰まった時は、与えられている条件を全て使ったかを確認する」という冷静な視点を持つだけで、一歩進展すると締めくくった。数学の問題に限らず、困難に直面した際の論理的なアプローチとしても役立つ知識である。