多くの人が気づいていない…めちゃくちゃ「複雑そう」に見えるのに、じつにシンプルな形どうしの「衝撃的な合体」
ノーベル賞学者としても有名な天才物理学者・数学者のロジャー・ペンローズが、1970年代から半世紀にわたって探し求めてきた「ある図形」が話題になっています。
その名は「アインシュタイン・タイル」。
2023年にようやく発見されたその図形とは、いったいどのようなものなのでしょうか？
ペンローズが考案した「ペンローズ・タイル」を超える“幾何学上の大発見”について、ビジュアル重視でやさしく詳しく解説した『ペンローズの幾何学』が刊行され、たちまち大増刷と大きな反響を得ています。
パズル感覚で楽しむことができ、しかも奥深い「平面幾何」の世界を探訪してみましょう。
※この記事は、『ペンローズの幾何学』の内容から再構成・再編集したものです。
「平面充填」模様とはなにか
2次元平面を隙間なく埋めていく連続した模様の事例は、街のそこかしこで見かけます。
たとえば、壁や床のタイル張り、歩道の敷石、着物や洋服のデザインなどですが、そうした模様の事例は人工的にデザインされたものだけでなく、自然界でも見かけることがよくあります。
「f」の蜂の巣などはよく知られていますね。
このような平面を隙間なく埋めていける模様を「平面充填（へいめんじゅうてん）模様」、あるいは「敷き詰め模様」「タイリング・パターン」などとよんでいます。
平面充填ができる形
平面充填ができる形状はいくつもあります。
たとえば三角形ならば、たとえそれがどんな辺の比率であっても（同じ三角形どうしなら）平面充填が可能です。
同じ長さの辺どうしを合わせると、向かい合った辺が平行の四角形ができるからです。向かい合った辺が平行の四角形は、必ず平行な棒状にできますから、深く考えるまでもなく必ず平面充填できます。
同様に、任意の四角形も長い辺どうしを合わせると向かい合った辺が平行の六角形ができるので、（詳しい説明は省きますが）必ず平面充填になります。
特に、四角形の向かい合う2辺の一組だけでも平行な場合は、平面充填であることは想像しやすいでしょう。正方形、長方形、ひし形、平行四辺形は、明らかにその条件に当てはまります。
また台形や、2辺のみが平行の他の四角形においても、平行でない同じ長さの辺をうまく（平行の辺がまっすぐつながるように棒状に）合わせることで、平面充填可能であることはおわかりいただけるかと思います。
複数に見える形も整理してみると……？
正方形のように、辺と角度（内角）が同じ正多角形では、正方形の他に正三角形と正六角形が平面充填可能です。
角度だけに限定すれば長方形が、辺の長さに限定すればひし形や少々いびつな五角形と六角形も平面充填可能です。
上図の上段で右から2番めに示した、辺が同じ長さの五角形は、じつは正三角形と正方形の合体形です。つまり、この平面充填模様は、2種類の形状の図形によって作られていると言い換えることができます。
イスラムのタイルにも
次の図はイスラムのタイルですが、形状は2種類ですね。
イスラムのタイルのなかでも特に有名な右の例を考えてみましょう。このタイル2種は、正方形を並べた形状がまずあって、それに規則的に凹凸をつけただけであることが、見てとれるでしょう。
2種の正多角形のみを組み合わせた平面充填は、正六角形と正三角形、正方形と正三角形、正八角形と正方形、正十二角形と正三角形などでできますが、大きさの異なる2種の正三角形や2種の正方形でも可能です。
その他、3種類以上の形状を組み合わせたパターンは複雑になりすぎるきらいがありますので、ここで取り上げるのはやめておきます。興味のある方はぜひ試してみてください。
ペンローズの幾何学
対称性から黄金比、アインシュタイン・タイルまで
「存在しない」と考えられてきた図形「アインシュタイン・タイル」が、2023年、ついに発見されました。 非周期モノ・タイルとよばれるこの図形は、いったいどんな形状で、どこがどうすごいのか?
数学者だけでなく、アマチュア愛好家によっても偉大な発見が続々となされてきた平面幾何の世界。 パズル感覚で楽しむことができ、しかも奥行きの深いこの分野で、「次の大発見」をもたらすのは、あなたかもしれない！
