新NISAでも活用できる｢対数｣東大生が教える凄さ
今回は「対数」について解説します（写真：yukkee／PIXTA）
数学を使った世の中の仕組みを知ることで、物事を⾒る視野が広がります。今回は高校数学で学ぶ「対数」について、現役東大生の永田耕作さんが解説します。
※外部配信先では対数（log）や指数がうまく表示できない場合があります。その際は東洋経済オンライン内でお読みください
「複利」効果を使って資産を増やす
2024年から始動した新NISA。従来のNISAより投資上限額と非課税保有限度額が拡大されたことから、制度を活用して資産を増やしたいと思っている人もいるのではないでしょうか。そのときに重要となってくるのは、「複利」と呼ばれる利子の計算方法です。それを説明するために、まずはこちらの問題を考えてみましょう。
問題：元金100万円を年利4%で運用したとき、元金が2倍になるのは何年後でしょうか？
この問題、もしかするとこのように考えた人がいるかもしれません。
元金が2倍になるということは、利子がちょうど元金と同じだけ、つまり100%付く必要がある。1年で4%の金利であるため、100÷4 = 25より、元金が2倍になるまで25年間かかる……。
正解はそれより7年間も短い「18年」で元金の2倍以上になります。この背景には、「単利」と「複利」の計算方法の違いがあります。その違いは利子を元金に組み入れるかどうかです。
元金100万円で年利4%の場合、1年後には利子4万円が付いて104万円になります。ここで、得られた利子は元金に入れずに、翌年も100万円に対して4%の利子が発生するのが「単利」であり、利子も入れた104万円に対して4%の利子が付くのが「複利」です。
つまり、単利の場合は1年目も2年目も同じ4万円の利子が付きますが、複利の場合は2年目の利子は
104万円×4%=4万1600円
となり、単利よりも1600円多く利子が付くことになります。
3年目は2年目に増えた1600円分に対してもさらに4%が付き、時間経過につれてどんどん利息が増えていきます。最終的に、18年目の利息は単利が4万円なのに対して、複利では約7万8000円と2倍近くもらえるようになるのです。このように考えると、単利と複利の違いがいかに大きいかわかっていただけたと思います。
対数は膨大な量の計算を簡単にするために使われる
この複利の考え方は、一見とても複雑に見えます。「元金が2倍になるのは何年後？」と言われても、そんなことどのように計算すればよいかわからないという人も多いでしょう。しかし実はこれ、高校数学で学ぶ「対数」を使えば、簡単に導き出せるのです。
対数は膨大な量の計算を簡単に行うために使われます。さきほどの問題で考えると、何年後に2倍になるかを求めるため、それを「n年後」と置きます。すると、n年間にわたって毎年元金が1.04倍されていくため、n年後には「1.04n」倍になります。よって、2倍になる年数は
1.04n=2
を解いて得られるnの値になることがわかります。これを通常の計算で求めようとすると
1年目：1.041=1.04
2年目：1.042=1.0816
3年目：1.043=1.124864
……
17年目：1.0417=1.9479
18年目：1.0418=2.025817
と、2倍になるまで計算し続けることになるため、非常に時間がかかります。ここで便利なのが「対数（log）」です。
対数とは、「ある数Xをt乗してYになるとした場合の指数t」のことを指しており、この「t」を「Xを底（てい）とするYの対数」と呼びます。
難しい表現になってしまいましたが、簡単な数字を例に挙げてみると「2の3乗が8である」ことを、「2を底とする8の対数は3である」と表し、次の式で表されます。
log28=3
これは、高校数学の数学�兇糧楼呂貌�っており、多くの場合高校2年生で学習します。この式で小さく書かれている数字「2」が「底」であり、それに対して8の対数が「3」であるということです。
高校数学でよく使われる「対数をとる」
年利4％で2倍になる年数は1.04n=2を解いて得られるnの値でした。このnを求めるために式の両辺に「log10」をつけてみましょう。
log101.04n=log102
左辺と右辺は同じものであることを等号が表しているので、両辺にlogをつけても式は成立します。この式変形は高校数学においては非常によく用いられ、「両辺の対数をとる」と表現されます。さらに計算を進めると
log101.04n=log102
nlog101.04=log102（※公式logaMn=nlogaMを利用）
n=log102／log101.04
n=0.301／0.017（※常用対数表を参照）
n=17.7……
となり、これを超える整数である18回で元金の2倍を超えることがわかるのです。
この式でも答えは導きにくいように見えますが、実はこれ、スマートフォンにあらかじめインストールされている電卓アプリでも計算できるのです。例えば、iPhoneの「計算機」アプリを起動して横向きにすると、「log10」というボタンがあるのがわかります。
iPhoneの「計算機」アプリ。左から6列目、上から3番目に「log10」がある
log102を求めたい場合、「2」を入力した後に「log10」のボタンを押すだけで、10を底とする対数を出力することができます。これを用いれば、
log102=0.30102……
log101.04=0.01703……
とすぐに計算できます。
地震の規模を表す「マグニチュード」も対数
対数について、高校で習ったときには実用性の見えない数学だと感じていた人もいるのではないでしょうか。実は対数は世の中にあるスケールの大きな数字を表したり、比較したりすることに非常に効果的に使われているのです。
例えば、地震の規模を表す「マグニチュード」も対数で表した数値です。地震のマグニチュードをM、エネルギーの大きさをEとすると、その関係式は
log10E=1.5M+11.8
と表されます。これを計算すると、マグニチュードが1大きくなると、地震のエネルギーは10の1.5乗、つまり約32倍になることがわかります。
このように、高校数学で習う対数はいろいろな場面で生かされています。対数は大きな数を小さな数で表現することができ、非常に便利なのです。
（永田 耕作 ： 現役東大生・ドラゴン桜チャンネル塾長）
