【院試や数検対策に】1階微分方程式は「まず変数分離形を疑う」のが解法の鉄則

YouTubeチャンネル「わんみん | 高専生・大学生のための数学解説」のRitsukiが、「今週の微分方程式 #1 難易度：星2」と題した動画を公開した。本企画は毎週日曜日の朝9時に更新され、大学の定期試験や編入試験、院試、さらには数検対策にも使える実践的な内容となっている。第1回となる今回の解説では、「1階微分方程式はまず変数分離形を疑う」という問題を解くための重要な指針が提示された。

動画内で取り上げられた問題は「dy/dx + y/x = (x+1)x^2y」という式である。一見すると複雑な形をしているが、Ritsukiは1階の微分方程式に向き合う際の鉄則として「まずは変数分離形を疑いましょう」と語る。このアプローチに従い、式を「dy/dx =」の形に整理するプロセスを実演。右辺をyの関数とxの関数にきれいに因数分解できることを示し、問題の式が変数分離形であることを論理的に解き明かした。

式の形が判明した後は、yの項を左辺に、xの項を右辺へと完全に分離させ、両辺をそれぞれ積分する手順へと進む。積分計算自体をスムーズに終えた後、Ritsukiは対数を含む式からyを導き出すため、両辺を「eの肩に乗せる」という視覚的で分かりやすい表現を用いて計算を展開した。

さらに解説は、単なる計算手順の提示にとどまらない。絶対値を外す際に生じるプラスマイナスの符号を新たな任意定数として置き直す過程や、計算途中でyで割り算をしたために除外されていた「y=0」という自明な解が、最終的な任意定数の条件にどのように吸収されるのかといった、学生がつまずきやすい厳密な数学的議論についても丁寧に説明している。

最終的に、任意定数を用いたすっきりとした一般解を導き出したRitsuki。複雑に見える微分方程式であっても、最初に式の形を正しく見極め、着実なステップを踏むことで解にたどり着けることを明確に示した。数学の基礎固めから高度な試験対策まで、継続して学ぶことで着実に計算力が身につく充実の講義となっている。