京大入試の確率問題。展開図で考える「使用された色は3色」という気づきが解法への近道

YouTubeチャンネル「わんみん | 高専生・大学生のための数学解説」が、「【京大】立方体をランダムに塗る確率の問題【高校数学】」と題した動画を公開した。動画では、講師のRitsukiが京都大学の入試で出題された確率の問題を取り上げ、図解を用いて鮮やかに解き明かしている。

取り上げられた問題は、N色（N≧3）の絵の具を用意し、立方体の6つの各面を独立に確率N分の1で選んで塗るというもの。その際、使われた色が3色以内で、かつ同色の面が隣り合わない確率を求めるという内容だ。

Ritsukiはまず、立方体を固定して各面にAからFまで名前をつけ、色にも番号を振るという「設定」の重要性を指摘する。すべての塗り方がNの6乗通りであることを確認した上で、条件を満たす配置の数を求める方針を提示した。

解説の中盤では、展開図を用いて具体的な色の配置を検討していく。隣り合う面を異なる色で塗るシミュレーションを行うことで、条件を満たすには「使用された色は3色」であり、かつ「向かい合う面が同色」でなければならないという事実にたどり着く。

最後にRitsukiは、3色の選び方と各面への割り振り方を掛け合わせることで、条件を満たす配置の数を導き出した。複雑に見える難関大学の確率問題も、事象を一つひとつ整理し、図解することでシンプルに解を導き出せることを証明している。