コピー用紙の「A判」と「B判」の関係を表す方程式

ビジネスに欠かせないコピー用紙。「A4」や「B5」などさまざまなサイズがあるが、ここに隠された秘密があるのをご存じだろうか。実はコピー用紙の縦横の比率は、どれも「√2（1.414……）対1」、つまり「白銀比」になっている。そして、すべて同じ形、相似形をしているのだ。

たとえば、A4サイズは「210mm×297mm」で、確かに「1対√2」。これを縦に半分に折るとA5になり、逆にA4を2つ合わせるとA3。一方、B4は「257mm×364mm」であり、こちらも「1対√2」だ。これも縦に半折りするとB5で、B4を2つ合わせるとB3になる。

ちなみに、A判は国際標準規格(ISO）であるのに対し、B判は日本独自の規格（JIS）で、かつて官公庁の書類はB判だった。日本でもA判が主流になる半面、A判だけでは使い勝手が悪く、伝統的なB判も混在することになったのだ。確かにA4と比べてA3では大きすぎ、A5では小さすぎる。それを補完するためにB判があるというわけだ。

ところで、このA判とB判にも数学的関係が秘められているのだ。ここではA4とB4の同じナンバリングの用紙で説明する。

面積はA4が「210mm×297mm＝62370平方ミリメートル」、B4が「257mm×364mm＝93548平方ミリメートル」。その面積比は「93548平方ミリメートル÷62370平方ミリメートル＝1.499……」となり、ほぼ1.5に等しい。つまり、A4の1.5倍の面積がB4ということになる。

実はこの関係性を、中学レベルの数学で簡単に理解できる方法があるので、ご紹介しよう。ポイントは「対角線」だ。

まず、A4を縦にして図のように上の正方形の部分を斜めに半分に折る。この正方形の一辺と対角線の比は白銀比（1対√2）。そして、この対角線とA4の縦の長さを比べると一致する。つまりA4の横の長さを「1」とすると、縦は「√2」ということになる。

ここで中学で習う「三平方の定理」（直角三角形の直角をはさむ2辺の長さをa、b、斜辺の長さをcとすると「aの2乗＋bの2乗＝cの2乗」）を使い、A4の対角線の長さは「√3」とわかる。

次に、A4の対角線とB4の縦の辺を重ねてみる。するとぴったり一致する。つまりB4の縦の辺は「√3」ということになる。すると前述したようにコピー用紙はすべて白銀比なので、B4の横の長さは「√2分の√3」となる。

最後に、これまで割り出された数値を使ってA4とB4の面積を求めてみよう。A4は「√2×1＝√2」、B4は「√3×√2分の√3＝√2分の3」。したがって、A4とB4の面積比は、「√2対√2分の3」で、B4の面積はA4の面積の1.5倍とわかるのだ。

最後に0判同士で検証してみよう。A0判は「1189mm×841mm」でその面積は999949平方ミリメートルで約1平方メートルとなる。一方、JISでB0判は「1030mm×1456mm」と定められていて、その面積は1499680平方ミリメートルで約1.5平方メートルである。普段、何げなく手にしているコピー用紙だが、その根底にある数と形の仕組みで、私たちは便利に使えるのだ。

（サイエンスナビゲーター 桜井 進　構成＝田之上 信）