じつに、美しい…世の数学者を虜にする「平面充填」。なんと、ありうる「回転対称」は、セルによって決まっている、という「驚愕の法則」
ノーベル賞学者としても有名な天才物理学者・数学者のロジャー・ペンローズが、1970年代から半世紀にわたって探し求めてきた「ある図形」が話題になっています。
その名は「アインシュタイン・タイル」。
2023年にようやく発見されたその図形とは、いったいどのようなものなのでしょうか？
ペンローズが考案した「ペンローズ・タイル」を超える“幾何学上の大発見”について、ビジュアル重視でやさしく詳しく解説した『ペンローズの幾何学』が刊行され、たちまち大増刷と大きな反響を得ています。
パズル感覚で楽しむことができ、しかも奥深い「平面幾何」の世界を探訪してみましょう。
※この記事は、『ペンローズの幾何学』の内容から再構成・再編集したものです。
すべり鏡映対称性
前回の記事に続いて、平面図形に現れる対称性について見ていきましょう。まずは「すべり鏡映対称性」から。
「すべり鏡映」とは、一定形状や模様を鏡映にしたうえで平行移動したものを指し、英語では「グライド（glide）」といいます。
前回の記事で登場した「平行移動」と「鏡映」をプラスした移動と考えても結構です。
すべり鏡映の対称性も平面に広がる模様だけがもちうるもので、壁紙のパターンなどでよく使われます。
回転対称性
星形や桜の花びらは、中心点で72度（右でも左でも）傾け（回転す）ると、形状がぴったりと重なります。
たとえば右に72度ずつ回転すれば、5回めで元に戻るでしょう。
このような形状は「5回回転対称性がある」、あるいは回転を省いて「5回対称性がある」と表現します。『ペンローズの幾何学』でも、回転という語はなるべく省略しています。
上図の中央に示す「卍」に4回対称性があるのは、説明しなくとも明らかでしょう。
ところが、表面に描かれた内容も含めて考えると、また違うようすが見えてきます。
「星形」の場合
星形は、縦の線（図中の点線）を軸とする線対称にすぎません。回転すると（１周しないかぎり）元の図形に戻らないからです。
表面の模様を無視して、平面充填模様の場合は、セルだけを考えるなら、ありうる回転対称は180度（2回対称）、120度（3回対称）、90度（4回対称）、60度（6回対称）に限定されます。
72度（5回対称）は、平面充填模様のセルの形状としては無理だというわけです。
また、平面充填模様の場合は、6回対称性より数の多い回転対称も考える必要はありません。たとえば、正十二角形には12回の回転対称性があるでしょうし、円には無限の回転対称性があるのではないかという疑問はそのとおりです。
平面充填模様のセルの形状とは無関係ということにすぎません。
拡大・縮小対称性
対称性に含まれるもう一つの要素は、「拡大・縮小」です。
ここまでに説明した4つの要素「平行移動」「鏡映」「すべり鏡映」「回転」は同じ大きさの図形に関する移動（「等長変換」といいます）でしたが、ここからは違います。
正方形が4つ集まると、より大きな正方形が作成できます。また、正方形を4つに分けて小さな正方形4個にすることもできます。
拡大と縮小は正反対の概念ですが、方向性（時間の流れ）を逆にすれば、まったく同じプロセスだともいえますから、拡大に限定して話を進めます。
上図の例は2倍にするだけでしたが、3倍､5倍などの任意の倍率でも同様であることは自明です。また、上図の右に示す例のように、拡大と縮小を同居させることも（当たり前ですが）アリです。
このようにサイズの異なる同じ形（相似形）も、ある種の充填模様の要素になりうることは間違いありません。そしてそれらは対称的であり、同時に美しくすらありえるものなのです。
本記事で取り上げたトピックをはじめ、『ペンローズの幾何学』では、平面図形に現れる対称性や黄金比などのふしぎな性質、最新の発見である「アインシュタイン・タイル（非周期モノ・タイル）」に関する詳しい解説等を紹介しています。
ペンローズの幾何学
対称性から黄金比、アインシュタイン・タイルまで
