じつは「正五角形」では「平面」を埋められない…埋め尽くす非周期タイルを、なんと「2種類」にまで絞り込んだ「驚愕のヒント」
ノーベル賞学者としても有名な天才物理学者・数学者のロジャー・ペンローズが、1970年代から半世紀にわたって探し求めてきた「ある図形」が話題になっています。
その名は「アインシュタイン・タイル」。
2023年にようやく発見されたその図形とは、いったいどのようなものなのでしょうか？
ペンローズが考案した「ペンローズ・タイル」を超える“幾何学上の大発見”について、ビジュアル重視でやさしく詳しく解説した『ペンローズの幾何学』が刊行されました。
パズル感覚で楽しむことができ、しかも奥深い「平面幾何」の世界を探訪してみましょう。
※この記事は、『ペンローズの幾何学』の内容から再構成・再編集したものです。
テセレーションとはなにか
ペンローズ・タイルからアインシュタイン・タイルに至る長い道のりを解説する前提の一つとして、「テセレーション」についてまず知っておいていただく必要があります。
テセレーションについては第1章で説明しますが、「平面充填をもとにした模様のデザイン」を指す言葉です。身近な事例でいえば、浴室の壁のタイル張りや、歩道の敷き石の模様のようなものをイメージしてもらうとわかりやすいでしょう。
テセレーションの解説において、「フレーム」と「ジリ・パターン」という考え方もあわせて説明します（『ペンローズの幾何学』第1章参照）。ともに今回発見されたアインシュタイン・タイル（非周期モノ・タイル）を説明するにあたり、たいへん重要な要素です。
「周期的」な模様
平面に広がる模様が「周期的」（英語でperiodic）であるとは、わかりやすくいえば「どの領域を複数の方向（逆向きを省く）に平行移動しても、ピッタリ重なる他の領域が必ずいくつも一定の間隔で存在する」状況のことです。
それでも難しく感じる人も多いかもしれませんが、ここではいったん「特定領域を2方向の平行移動でつなぎ合わせて、平面充填としてその模様を作ることができること」ととらえていただいてもかまいません。
浴室の正方形のタイルがビッシリと並んだものが、周期的な模様の事例の代表と考えられます。次の図に他の事例も示しましょう。
では、「非周期的」な模様とはどのようなものでしょうか？
「非周期的」な模様
一方、ある模様が「非周期的」（英語ではnon-periodic）であるとは、「どの領域を2方向に平行移動でつなぎ合わせても、平面充填としてその模様を作れないこと」であるといったんしておきましょう。ただし、単純な模様の場合は、非周期的であることを「平行移動でピッタリと重ねることができない領域」を見つけることで判別できます。
注意が必要なのは、ある種の図形の形状は、周期的な模様にも非周期的な模様にも並べることができる点です。たとえば、次の図はいずれも、単純な非周期的な模様の一部を示したものです。
個々の図形の形状はどれも単なる二等辺三角形ですが、（ア）は周期的に並べられた模様の一部をずらすことで、一部分でピッタリ重ねることのできない領域ができ、非周期的になっています。（イ）の中心点を囲む領域は、平行移動で重ねることはできません。そのため非周期的な模様だといえます。
（ウ）は水平なラインに沿って、三角形1個分ずらした並べ方で、中心点（らしきもの）は2つあります。三角形1個分ではなく、2個分ずらしたのが（エ）の並べ方ですから、3個、4個……とずらしても非周期的な模様であることに変わりはありません。
つまり、非周期的な模様となる図形の並べ方は、何通りも（無限に）あることがわかります。
「非周期タイル」とは
そして、『ペンローズの幾何学』の重要な位置を占める「非周期タイル」とは、「非周期的な模様にしか並べることのできない」形状の図形（aperiodic tile）、もしくは複数の図形の組（aperiodic tile set）を指します。
先にも触れましたが、1964年に最初の非周期タイルの組（2万426種類）が発見されるまで、そのような図形（もしくは図形の組）が存在することすら、疑問視されていたことをもう一度強調しておきます。
周期と非周期に関するさらに詳しい話は『ペンローズの幾何学』第2章で解説します。第3章はその続きとして、ロジャー・ペンローズが発見した「ペンローズ・タイル」を中心に話を進めることになりますが、まずはここで、ペンローズ・タイルと、それを構成する2種類一組の非周期タイルをご覧いただきましょう。
ペンローズ・タイルと準結晶のふしぎな関係
上図の左はペンローズ・タイルによる平面充填の一部で、非周期にしか並べることのできない、たった2種類一組の図形でできています。ペンローズ・タイルにもいくつかのタイプが知られています。
ロジャー・ペンローズは、正五角形に着目することで非周期タイルの組の要素を2種類まで減らすことに成功しました。それまでの最少記録だった6種類からの、大きな前進でした。
ところで、従来の結晶学で考えられていた物質の分子構造は、三角形と四角形（あるいは六角形）が中心でした。それらの構造が安定しており、平面（あるいは空間）を敷き詰めることができる、一種のテセレーションともいえるものだったからです。
他方、正五角形は平面上を隙間も重なりもなく敷き詰めることができません。したがって、正五角形を基本とする物質は、この世に存在しないものと考えられていたのです。
ところが1982年、特殊な実験下においてではあったものの、イスラエルのシュヒトマンによって正五角形を基本とする物質が発見されました。そして、そのＸ線回折写真は、驚くことにペンローズ・タイルを並べた図を想起させるものだったのです。
正五角形は平面を埋めることはできませんが、立体（3次元）だと正十二面体や正二十面体のように成立しうるという事実が、理論的な背景にありました。のちにこの物質は、「準結晶（quasicrystal）」と名付けられました。
ペンローズの幾何学
対称性から黄金比、アインシュタイン・タイルまで
「存在しない」と考えられてきた図形「アインシュタイン・タイル」が、2023年、ついに発見されました。 非周期モノ・タイルとよばれるこの図形は、いったいどんな形状で、どこがどうすごいのか?
数学者だけでなく、アマチュア愛好家によっても偉大な発見が続々となされてきた平面幾何の世界。 パズル感覚で楽しむことができ、しかも奥行きの深いこの分野で、「次の大発見」をもたらすのは、あなたかもしれない！
なんと、「存在しないはずの図形」が発見された…！ 簡単そうだけど、50年も見つからなかった「摩訶不思議な模様」衝撃の登場
