トイレットペーパーは何回巻いてあるの？「264回」
1日に1回はお世話になるトイレットペーパー。慌ててトイレに駆け込んだら、紙がなくて出られないなんて定番ギャグがあるように、生活のマストアイテムと呼べる存在だ。
ところで、トイレットペーパーは何回巻いてあるのだろうか？ 全体と1枚の厚みが分かっても、重なりに隙間があるので枚数は割り出せない。気合と根性で数えるしかないかと思ったら、長さと外径、芯の直径だけで簡単に計算できるのだ。
■意外に厳密なトイレットペーパー
トイレットペーパーはどこでも使えるように、日本工業規格(JIS)によって大きさが定められている。例えば幅は、114ミリを基準にプラスマイナス2ミリまでの誤差しか認められていない。使う際はホルダーに掛けるのが一般的なため、メーカーごとに幅が異なると収まらなくなってしまうからだろう。
同様に芯の直径も37〜39ミリと、厳密に定められているのだ。
対して長さと外径は、
・長さ（メートル） … 27.5 / 32.5 / 55 / 65 / 75 / 100m
・外径（ミリ） … 120mm以下
と基準がゆるい。外径は芯よりも大きく120mm以下ならOKで、表示よりも短いのはNGだが、長さはプラス3mまでの誤差が許されている。究極の瞬間消耗品ながらも、きちんと規定されているのには驚いたが、60mや110mなど規格外の製品が売られているのは不思議だ。
手もとにあった長さ60m・1枚重ねシングルのトイレットペーパーを定規で実測したところ、外径は105mm、芯の直径は40mmだった。このトイレットペーパーは何回巻いてあるのかを調べてみよう。もちろん均一に巻かれ、折れたり重なったりしている部分はないと仮定してだ。
もっとも簡単な方法は、1枚の厚さから割り出す方法で、（外径−芯の直径）÷2ですべての紙の厚みがわかる。これを1枚の厚みで割り算すれば、何段重なっているか求められるはずだ。
ただしこの方法では2つの問題があり、まず紙が薄すぎて、家庭にあるミリ単位の定規では1枚だけを正確に測ることができない。次に、紙はゆとりをもって巻かれている点で、固く巻きつけられていれば通用するが、紙と紙のあいだに隙間があるので誤差が大きすぎる。
原始的に1枚ずつ数えたほうが高精度だろうが、3cmほども積み重なっている破れやすい紙を数えるなんて、想像しただけでリタイアだ。
■算数がトイレを救う？
少し視点を変えてみよう。実際には芯からうず状に巻かれているのだが、筒がいくつも重なっていると考えると、
・芯の直径＝40mm → 一番内側の紙の長さ＝125.6mm
・外径＝105mm → 一番外側の紙の長さ＝329.7mm
・全体の長さ＝60m → 60,000mm
で、内側から外に向かって筒の直径は大きくなるので、比例して紙の長さも長くなる。外側からみれば、内側に向かうほどに短い紙が巻かれているように見えるはずだ。
ここで、1+2+3+ … +8+9+10を計算してみよう。トイレットペーパーと何つながり？と思うのも当然だが、重大なヒントがかくされている。1+2＝3、3+3＝6、と続けるよりも、（1+10）+（2+9）+（3+8）…と計算すると、合計11が5組あるので答えは55とすぐに求められる。
トイレットペーパーも同様に、長さは均等に増減するので、
・一番内側の長さ ＋ 一番外側の長さ
・内側から2周目の長さ ＋ 外側から2周目の長さ
この2つのペアは同じ長さになるので、これで全体の長さを割り算すれば、何組あるか求められるはずだ。
式にすると、
・60,000÷（125.6+329.7）＝131.78
ただしこれは長短合わせたペアの数だから、2倍すると263.5、およそ264回巻かれていることがわかる。
■まとめ
これはドイツの数学者・ガウスが見つけた方法で、差が同じ数列なら（最大＋最小）＝（n番目に大きい数＋n番目に小さい数）になるのを利用した計算だ。
高度とも単純とも呼べる方法だが、300周近く巻かれたトイレットペーパーを数えずに済んだので一件落着。
(関口 寿/ガリレオワークス)
