数学の世界には、謎がまだまだたくさんある。


 近ごろ、数学の業界は、重要未解決問題である「ABC予想」が証明されたようだ、という話題で盛り上がっています。証明を発表したのは京都大学数理解析研究所の望月新一教授(1969〜)で、その証明論文は全部で600ページを超える膨大な代物です。これをプリントアウトした人、世界に何人いるんでしょうか。

「近ごろ」といっても、その論文は2012年にウェブ上に発表されたものです。何年も経てば、普通は、ホットな話題も温度が下がってくるものですが、そうはならずにかえって沸騰している理由は、その証明がどうやら正しいようだと認められ、学術誌に掲載されることになったためです。この膨大な論文はあまりに難解で、数学業界が理解するのに今までかかったというのです。

 けれどもこの件についての世間の報道は、望月教授の生い立ちや人柄に多くのバイト数を費やして、ABC予想そのものについては、難解すぎるためか、触らぬ数学にたたりなしという態度をとるメディアが多いようです。

 確かに、数学者も解読に難儀する600ページの証明をここで分かりやすく説明するのは、まあはっきりいって無理なんですが、男には負けると分かっていても戦わなければならない時があるとキャプテンハーロックも言ってます。どんな予想で、何がすごいのか、解説を試みましょう。

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ABC予想とは

「ABC予想」、別名「オスターリ・マッサー予想」とは、フランスのパリ第6大学*1 のジョゼフ・オスターリ博士(1954〜)とスイス・バーゼル大学のデイヴィッド・マッサー教授(1948〜)が1980年代に発表した予想です。

*1:パリ第6大学は、2018年1月よりパリ第4大学と合併。

 数学業界における「予想」とは、「まだ誰も証明できないけど、△△という定理が成り立つような気がするなあ」という主張です。

 誰かがこういう予想をすると、これを証明したくなったり、あるいはこれが間違っていることを証明したくなったりするのが数学者という人種です。なんでそんなことをしたくなるのか理解できない方が人類の多数派と思われますが、数学者のそういうモチベーションによって、世の中は進歩してきました。

 これまで無数の予想が提唱され、証明されたり、反証されたり、あるいはまだ解かれずに残ったりしています。有名なものに「ポアンカレ予想(解決済)」「フェルマーの最終定理(解決済)」「P≠NP問題(未解決)」などがあります。いつか、紹介する機会があるかもしれません。

 さてABC予想です。これはどのような予想なのでしょうか。いくつか表現方法がありますが、そのうちの一つは次のようなものです。

(*配信先のサイトでご覧の場合、数式が崩れて表示される場合があります。正しくは、http://jbpress.ismedia.jp/articles/-/51974でご覧ください。)

 正の整数AとBの和をCとします。つまり

A+B=C

です。

 正の整数は、素数のべきの積に「素因数分解」することができます。例えば15ならば

15=3×5

4ならば

4=22

という具合です。

 AとBは、このような素因数分解を施したとき、共通の素因数を持たないように選んでおきます。

 例えば

A=4、B=15

という組み合わせです。

 このような、共通の素因数を持たないAとBは「互いに素」だといいますが、別に覚えなくてもここでは差し支えありません。

 一方、例えば、

A=4、B=6

という組み合わせは、共通の素因数2を持つので、今回の考察の対象外です。

 次に、そうやって選んだAとBと、その和Cを、掛け合わせ、素因数分解します。

A×B×C=4×15×19=22×3×5×19

 さらに、素因数分解の結果から、異なる素因数だけを拾って掛け合わせて、新たな数Dを作ります。つまりべき乗は1乗に変えます。

22×3×5×19 → 2×3×5×19=570=D

 DはA×B×Cの「根基」と呼ばれますが、やはり覚えなくても差し支えありません。

 この時、「たいていの場合、DはCよりも大きくなるだろう」というのがABC予想です。

「たいていの場合」というのをもっと厳密に表現すると、

「ある正の実数εについて、 C>D1+ε を満たすCは有限個しか存在しないだろう」

となります。

 これで一応、あまり難しい数学用語は使わずに、ABC予想を説明してみました。

 ABC予想は、言い換えると、

互いに素な整数AとBを足して A+B=C を作ると、Cには、AにもBにも含まれない新しい素因数がいくつも含まれるだろう。そういう場合はたいてい、C

という予想です。

ABC予想のすごい威力

 ABC予想は実用的な役には立ちませんが、「整数論」という数学分野で重要な役割を果たします。この予想が成り立つと、いくつもの定理が証明できます。

 例えば、「フェルマーの最終定理」はその一つです。

 フェルマーの最終定理とは、

「 xn+yn = zn を満たす正の整数 x、y、z は、 n が2よりも大きい整数ならば存在しない」

というものです。

 数学者ピエール・ド・フェルマー(1607〜1665)は、数学書の余白に落書きして、「私はこの定理のめっちゃびっくりするような証明を見つけたけど、この余白は狭いから書けないや」などと述べました。

 しかしフェルマーが証明したと称するこの定理は、他の誰にも証明できないまま300年以上経ち、これは世界で最も有名な未解決問題となりました。

 フェルマーの最終定理は、1995年、英国オックスフォード大のアンドリュー・ワイルズ教授(1953〜)によって証明されました。その証明論文は100ページを超えます。

 この大変な最終定理は、ABC予想が証明されれば、それを使ってちょちょいのちょいで証明できます。フェルマーも余白に書き込めたかもしれません。

 他にも、ABC予想が証明されれば、その余波で解決される問題がいくつもあります。ABC予想はかくも強力で、数学界の期待のかかった問題だったのです。

望月新一教授の証明論文あらわる

 2012年、京都大学数理解析研究所の望月新一教授が、個人ホームページに「宇宙際タイヒミュラー理論」と題する4篇の論文をアップロードしました。合計で500ページ(後に補足を含めて600ページ)になる大論文です。

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20I.pdf

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20II.pdf

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20III.pdf

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf

 この論文は世界的に注目を浴びました。なにしろ、

・実績とユニークな言動で業界に知られる望月教授の論文である(今度は何を始めたんだ)

・ABC予想の証明論文である(本当だったら快挙)

・膨大で難解で、同業者にも理解が困難である(何かすごいことが書いてあるのだろうか)

というわけです。まだ査読を受けて学術誌に掲載されたわけではないのに、早速(2012年)、『ネイチャー』にも取り上げられました。

論文がたどった経過

 望月教授のABC予想証明論文は、数理解析研究所の発行する学術誌『Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences(PRIMS)』(編集長は望月教授)への投稿論文ということになります。

 通常、論文を受け取った学術雑誌の編集部は、(査読のある学術誌なら)査読者(レフェリー)に読んでもらいます。査読者はその論文の研究分野の研究者から編集部が選び、匿名で査読を行ないます。

 査読の結果、その論文に誤りがなく、掲載する価値があると認められたならば、受理(アクセプト)され、掲載される運びとなります。普通の雑誌記事とは逆に、著者が学術誌に対して数十万円程度の掲載料を支払います。

 あいにく掲載が認められなかった(リジェクトされた)場合、著者は、編集部に再考をうながす、別の雑誌に投稿しなおす、発表を諦める、などの手が残されていますが、いずれにしても精神的に消耗させられます。査読者は自分に悪意を持っているあいつだろうか、などと妄想しちゃいますね。

 査読は数週間程度、長いと数カ月かかるものですが、望月論文の場合は5年という異例の長期間に及びました。

 証明論文で用いられている「宇宙際タイヒミュラー理論」は、望月教授が20年以上取り組んで、ほぼ独力で構築してきた理論です。論文には多くの新しい用語や定義がちりばめられ、専門家にとっても理解するのに相当な努力が必要です。

 5年の間には、この論文を勉強するための国際会議も開かれました。普段、日本国外で講演しない望月教授もTV会議システムで参加しました。ただしほとんどの聴衆は望月教授の説明を理解できなかったようです。

 まだ正式に掲載されていない論文の勉強会が行なわれるとは、これも異例です。そうでもしないと理解が進まず、査読もできなかったのです。

 そして関係者のそうした努力の結果、論文に誤りがないようだと結論され、ついに受理が決まりました。早ければ2018年1月にもPRIMSに掲載されるということです。

その証明は?

 専門家も読解に苦労するこの600ページの望月論文、筆者もページをめくってみたものの、残念ながらというか当たり前というか、やはり理解できませんでした。(LaTeX*2でこんな数式が表示できるのか、と感心したので、ソースを見たくなりました。)

*2=数式入力などに定評がある組版処理システム。物理系や数学系の論文は、だいたいこれを使って書かれる。

 ABC予想は整数について述べていますが、望月論文では、これを楕円曲線についての定理に置き換えます。さらにフロベノイドという新たな数学概念を作り上げ、これを用いて楕円曲線を扱い、証明を行なっているようです。

 無責任なようで申し訳ありませんが、証明方法についてこれ以上詳しく知りたい方は、原論文を御参照ください。

 それにしても、ABC予想は一見単純なのに、それを証明するとなると、新しい数学概念と600ページが必要だとは、数学の世界とそれを探求する人類の営みは、実に深遠です。

筆者:小谷 太郎