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関孝和の業績

 関孝和が算聖と讃えられるほどの業績を残しました。前回の傍書法はその1つに過ぎません。

 傍書法(代数式の表し方とその計算法)、ホーナー法(多変数高次方程式の解法)、方程式の判別式、ニュートン法、零約術(近似分数)、不定方程式の解法、招差法(階差を用いた未定係数決定法)、正多角形に関する関係式、円理(円周率の計算)、ニュートンの補間法、球の体積、ハップス・ギュルダンの定理、円錐曲線論、方陣の一般論、授時暦の研究、…

 これら関孝和の数学の全貌を紹介することは困難を極めます。それでもなお関孝和の偉大さを伝えるために、業績の一端を紹介してみようと思います。

 ここでは、世界に先駆けた関孝和の発見を2つ取り上げます。

関の公式その1 関・ベルヌーイ数

 自然数のべき乗をたし合わせる公式は総和公式と呼ばれます。高校数学の教科書に登場するのは次のようなΣを用いた公式で、数列の部分がkの1乗、2乗、3乗である場合です。

高校数学で習う総和公式


 すると、k の4乗、5乗、…と考えて、一般にp乗の場合の公式を考えることができます。

 総和公式の一般化に初めて成功した数学者こそ、われらが関孝和(1640?-1708)とスイスが生んだ世界的数学者ヤコブ・ベルヌーイ(1654-1705)です。

関孝和(1640?〜1708)


ヤコブ・ベルヌーイ(1654〜1705)


 驚くべきことが2つあります。2人が同時期に研究を行っていること、そしてその研究の中身も同じであることです。

 2人とも法則を見つけるために、kの4乗、5乗、…、10乗までの場合の総和公式を計算しています。

 『括用算法(かつようさんぽう)』(1712年)と『Ars Conjectandi(推測術)』(1713年)の中で発表されました。次が両者が10乗までの場合の総和公式を計算している該当部分です。

10乗までの場合の総和公式


 10乗までの公式を作ることで、一般にp乗の場合の公式を求めることができたことになります。

 10乗の先の2人が到達したのはある特別な数でした。それが、Bnと表されるベルヌーイ数と呼ばれる数です。ベルヌーイ数を用いたp乗の場合の総和公式はベルヌーイの公式と呼ばれています。

 ここで重要な指摘が必要になります。2人の著作の刊行年に注目してください。関孝和の発表はベルヌーイの1年前です。

 したがって、ベルヌーイ数と呼ばれる数は関数(せきすう)と呼ばれるべきです。1年違いであることとベルヌーイ数と呼ばれてきたことを考慮して、関・ベルヌーイ数と呼ぶのが適当です。

 私はこのことを2007年の拙書『天才たちが愛した美しい数式』(PHP研究所)で指摘しました。

 物を積み重ねたとき、その個数の総数を求めることを朶術といいます。朶(だ)とは、かたまりになっているものを数えるという意味です。関孝和は関・ベルヌーイ数を一級取数、二級取数、…、総和公式を朶積術(だせきじゅつ)と呼んでいます。

 関・ベルヌーイ数と関・ベルヌーイの公式の結論を眺めてみましょう。

 関・ベルヌーイ数は、図にあるような漸化式と呼ばれる式から計算されます。関孝和とベルヌーイは関・ベルヌーイ数のもとになる漸化式を発見に成功したということです。

 そして、次が総和公式を一般化した関・ベルヌーイの公式です。kの2乗の総和公式を関・ベルヌーイの公式で計算した場合を載せておきます。



関の公式その2 行列式

 関の没後、弟子である山路主住(1704-1772)によって関流という一大流派が組織されました。

 関流の数学では、関孝和の著作のうち『解見題之法(かいけんだいのほう)』『解隠題之法(かいいんだいのほう)』『解伏題之法(かいふくだいのほう)』が三部抄と呼ばれとりわけ重要視されました。

 関流で数学を学ぶ者はこれらの本をマスターすると「見題免許」「隠題免許」「伏題免許」という免許状が授けられました。

 「見題」とは四則(加減乗除)だけで解ける問題。「隠題」は1変数方程式を用いて解ける問題。「伏題」とは2変数以上の連立方程式が必要になる問題を意味します。

 中でも1683年、関孝和41歳の頃の『解伏題之法(かいふくだいのほう)』が重要です。

 第1章真虚 天元術を拡張した傍書法では複数の未知数の方程式を表現できます。本来求めるべき未知数の解法を真術といい、それ以外の補助的未知数の解法を虚術といいます。

 第2章両式附略省約縮 本来求めるべき未知数と補助的未知数を含む2つの方程式の導出法。

 略とは方程式の次数を下げること。省とは方程式の係数に含まれる共通変数を約すこと。約とは係数を約すこと。縮とは奇数次の項がすべて0の場合、未知数の2乗を改めて1つの未知数に置いて次数を半分に下げること。

 第3章定乗附畳括 定乗は2つの方程式から未知数を消去した場合にできる方程式の次数の計算法。

 ここに登場するのが終結式です。終結式とは次のように2つの多項式から定義されます。

 附録にある畳とは、2式に適当な式を乗じて引くことである項を消去すること。括とは、同じ未知数の同じ次数の項を求めることをいいます。

 第4章換式 2つの方程式から換式と呼ばれる式を得る方法。

 第5章正尅附交式斜乗法 換式から未知数を消去する方法。関孝和はここで一挙に未知数を消去することに成功します。

 世界初の行列式の導入です。n=2、3、4、5の場合について行列式を計算する方法が述べられてあります。それが附録にある交式斜乗法です。

 n=3の場合の換三式は、大学の線型代数に登場する「サラスの公式」として知られているものです。

 行列の主対角線に平行な成分の積には+の符号、反対角線に平行な成分の積には-の符号をつけてたし合わせます。関孝和はこの2つをそれぞれ正、尅と区別しました。

 「サラスの公式」はサラス(1798-1861)によって1846年に発表されています。『解伏題之法(かいふくだいのほう)』は1683年ですからサラスの163年も前の発表です。

 もはや「関・サラスの公式」ではなく「関の公式」と呼ばれるべきです。

 残念なことに、関は最後にミスを犯してしまいます。n=5以上でも交式斜乗法が成り立つと主張した点です。

 このことが明らかにされたのは100年以上を経て、菅野元健の『補遺解伏題生尅篇』(1798年)や石黒信由(1760-1837)の『交式斜乗逐索』(1798年)によってでした。

現代に生きる関の数学

 これら2つの関の公式は現代に脈々と生きています。高校数学の教科書に登場するΣの公式や関・ベルヌーイ数Bnは、これから先もけっして色褪せることなく数学の基本として教科書に書かれていきます。

 行列式の理論も、最新のコンピューターの中で連立方程式の解法に役立っています。

 私はこれからも「ベルヌーイ数」「サラスの公式」の表記を目にした時には、「関・ベルヌーイ数」「関の公式」と言い換えて、関孝和を伝承していきたいと思います。

筆者:桜井 進