辞書を読書する

 私は図鑑・辞書のたぐいを読書することが好きです。思い起こせば、幼稚園の頃、自宅にあった図鑑シリーズとの出会いがその発端だったように思います。

 以来、百科事典、歴史事典などを好んで読みました。その癖は学校の資料集・年表にも及びました。

 辞書を読書するようになったのが中学2年の時です。『小学館 国語大辞典』は広辞苑よりも大判であることが気に入って購入しました。圧倒的な重量感と存在感は一般書籍の読書とは違う感覚があります。

 こうして授業で使用する辞書・資料集・年表も片っ端から時間をかけて読書するようになりました。

 高校2年生の時に創立100周年を迎えた高校で、私は図書委員になりました。理由は閉架図書室に入室するためです。100年前の和綴じ本を「触る」「見る」ことが放課後の楽しみでした。

 図鑑・事典・辞書・資料集・年表といった本を時間をかけて「参照する」「使う」のではなく「読書する」ことが私の読書人生の楽しみの1つでした。はたして、これまでに私の著書・監修本は50タイトルを超えるまでになり、執筆の毎日を送っています。

 そのような私でも教科書は読書対象外でした。私が著者の1人になり平成24年度から使われている高校数学教書『数学活用』(啓林館)は、子供から大人まで読書できる教科書を目指して作られています。

 さて、国語、理科、社会、英語などの教科には教科書のほかにプラスα──辞書・資料集・年表がありますが、数学にはこのプラスαがありません。

 中学・高校時代、教科書と参考書・問題集しかなかった数学。本来、数学は本によって支えられています。日本は一般の書店に数学の専門書がたくさん並ぶ世界でも珍しい国です。

 何度も申し上げているように日本は数学大国です。私も10代に、多くの数学書と出会ったおかげで数学世界に誘われていきました。にもかかわらず学校という数学の現場には、教科書と参考書・問題集しかないのです。

 ということで、普段一般に手に取ることがない数学書を紹介してみようと思います。

『数学公式II 級数・フーリエ解析』(岩波書店)

 今回紹介する数学のプラスα──辞書・資料集・年表の本は公式集です。連載は前回でΣの呪縛を解くシリーズ第5弾になりました。その続きとしてうってつけの公式集を紹介します。

 『数学公式II 級数・フーリエ解析』(岩波書店)です。著書は森口繁一、一松信、宇田川硑久。初刷は1957年と古く、現在出回っているものは1987年の新装版です。

 構成はI 微分積分・平面曲線、II 級数・フーリエ解析、III 特殊函数と分野別3分冊です。Σの公式がII 級数・フーリエ解析の級数部分に相当します。

 岩波書店の紹介ページには次のようにあります。

 実用上必須の数学公式を網羅し,座右において使えるように工夫した公式集。多数の公式をそれぞれの型に分類し,検索の便を計ってある。理工系学生・研究者・技術者にすすめる。また,学生の演習にも役立つものとして評価が高い。

 私は上記の目的に「鑑賞」と「読書」をつけ加えたいと思います。

 ビブリオバトル(Bibliobattle、知的書評合戦)をご存じでしょうか。選んだ本の魅力をプレゼンし参加者にどの本が読みたくなったか投票を行い競うものです。

 拙書がビブリオバトルに取り上げられいるようですが、私自身はそれを体験したことがありません。

 でも気分はビブリオバトルです。以下の紹介を読んだ方がこの公式集を読みたくなるようなプレゼンをしたいと思います。 

はしがき
 冒頭が「小型で使いやすい数学公式集というねらいで、…」と始まるように本書は目的は実用書です。ここは「使いませんけど何か?」と無視しましょう。

 今回改めて「はしがき」を読んでみて、次の人名にびっくりしました。

編集については小谷正雄・関英男両博士のご教示に負うところが大きい

 小谷正雄(1906-1993)は分子物理学・生物物理学の権威です。私が驚いたのが、電気工学の権威として著名な関英男(1912-1996)です。彼がどのような研究者なのかを知らない方はぜひ調べてみてください。

 刊行当時、第一級の研究者が数学公式集の編集に加わっていることに数学のツールとしての価値が分かります。

 1957年と言えば、戦後12年経った時代です。ここから日本は高度成長期に突入していくことになります。インターネットがなかった時代、この公式集が日本中で役立ったことが容易に想像されます。

 そんなことを思い浮かべながら公式集を使うのではなく俯瞰してみます。 

凡例
 公式集は辞書と同じく「利用する」本なので凡例──利用の仕方があります。国語事典や英語辞典にある凡例をきちんと読んでいる人はどれほどいるのでしょうか。凡例を読み飛ばしても辞書を使うことはできます。 

 ところがこの公式集の凡例は重要です。公式を「使う」ためには凡例には目を通しておく必要があります。「鑑賞」なので凡例は必要ないことは言うまでもありませんが、ここは凡例を「読書」してみます。

 8ページの凡例に数学の洗礼を受けることになります。知らない数学用語のオンパレードに未知の世界に踏み込もうとしているワクワク感が湧いてくることでしょう。

 記号表(ii)特殊関数のところでは、ガンマ函数、ベータ函数、Riemannのツェータ函数、第1種完全楕円積分、楕円テータ函数、…と5ページにわたりあなたの知らない函数記号の定義が書かれてあります。

 関数はもとは函数でした。Riemannのツェータ函数とは連載、サラリーマンのための超入門・リーマン予想シリーズ「ついに、リーマンゼータの零点を見る」で紹介したリーマンゼータのことです。

 知っている用語に出くわすとちょっとほっとするかもしれません。ネイピア数e、円周率π、Σの呪縛を解くシリーズに出てきたベルヌーイ数Bnや階乗n!など。

 これが試験勉強だったらつらく思われてしまいます。鑑賞することをこの凡例で再認識しましょう。公式集は函数動物園だと思って、初めて見る動物の名前や容姿を気楽に眺めていきます。

 もちろん、自分の実力や知識に見合った「理解」「計算」にチャレンジしてみましょう。 

目次
 凡例の次が目次です。12ページ、じっくり読んでいきます。 

 目次からΣの公式の分量が分かります。級数・フーリエ解析とあるように大きく2つに分かれていますが、章立ては次のようになっています。

 級数部分が「第I編 級数の和」「第II編 級数編」、フーリエ解析が「第III編 三角函数および双曲線函数」「第IV編 Fourier級数」「第V編 積分変換」と対応します。

 Σの呪縛を解くシリーズとしては「第I編 級数の和」が1ページから90ページまで、「第II編 級数編」が91ページから174ページまでとなり、計174ページの間、延々とΣの公式を鑑賞することになります。

 動物園、美術館、博物館と同じように函数動物園、Σ美術館を自分の好きなペースで道順で見て回るのが楽しいでしょう。そのために、目次の項目をじっくり読んでいきます。

第I編 級数の和
 第I編は「第1章 有限級数の和」「第2章 数の無限級数の和」「第3章 函数項の無限級数の和」「第4章 無限乗積および無限連分数」と大きく分類され、さらに細かいセクションが第1章から第4章まで、通しで$1から$16まで分類されます。 

$1 多項式の級数
 いきなり1ページ目に連載「ゼータ関数を支える日本人数学者、関孝和」で紹介した関・ベルヌーイ数と関・ベルヌーイの公式が登場。

$2 自然数の有理函数の級数
 連載「人はたすことをやめない〜オイラーゼータ誕生物語」で紹介したゼータ関数が登場。

 興味深い公式は、ゼータ関数はΣの上端が無限大(∞)ですが、上端が有限のnになっている公式です。

$3 階乗および二項係数を含む有限級数
$4 有限三角級数
 sin、cosのΣ公式。

$5 有限函数項級数
$6 有限乗積
 数列(函数)の和が記号Σで表されるのに対して、数列(函数)の積は記号Πで表されます。

$7 級数求和法
 連載「驚異のオイラー・マクローリンの公式」で紹介したオイラー・マクローリンの公式が3ページに渡って解説されています。

$8 自然数の逆数の型の無限級数
 再び、ゼータ関数が登場。分数の数列のΣ公式のオンパレード。

$9 その他の数値級数
$10 冪級数
$11 xの函数の冪級数
$12 有理函数の級数
$13 Fourier級数
 連載「世界は波でできている」で紹介したフーリエ級数もΣ公式です。

$14 三角函数を含むその他の級数
$15 無限乗積
$16 無限連分数

第II編 級数論
 第II編は「第1章 数列とその極限値」「第2章 級数の収斂発散および級数展開定理」「第3章 おもな初等函数の冪級数展開」「第4章 発散級数および漸近級数」「第5章 数列および級数に関する不等式」と大きく分類され、さらに細かいセクションが通しで$17から$30まで分類されます。

$17 数列の収斂発散
$18 数列の極限値
$19 数値級数の収斂判定法
$20 2重数列と2重級数
$21 函数項級数および一様収斂
$22 冪級数
 テイラー級数そして連載「電卓遊びが導いた数値計算の世界」で紹介したマクローリン級数。

$23 その他の函数項級数
$24 Bernoulliの数およびEulerの数
$25 おもな解析函数の冪級数展開の例
 指数関数、対数関数、三角関数などのマクローリン級数。

$26 級数総和法
$27 超函数の意味での収斂
$28 漸近級数
$29 おもな絶対不等式
$30 増加函数および凸函数に関する不等式

 以上が『数学公式II 級数・フーリエ解析』の「第I編 級数の和」「第II編 級数編」の構成です。連載、Σの呪縛を解くシリーズで見てきた風景をこの本の中に確認していくことができます。

公式集から始まる数学との出会い

 この公式集はB6版のハンドブックサイズです。敢行当時、この本をタブレット端末のように携帯していた人がたくさんいたのでしょう。

 膨大な函数動物園とΣ美術館の数式たちとふれ合うことで数学への関心がきっと変化するはずです。

 インドの数学者ラマヌジャン(1887-1920)のことを思い出します。15歳のラマヌジャンが友人にプレゼントされた本が『A SYNOPSIS ELEMENTARY RESULTS IN PURE MATHEMATICS(純粋数学における初等的結果一覧)』(G.S.CARR,1886)でした。

『純粋数学における初等的結果一覧』


 この本は英国の大学生が使う数学公式集で、特に優れた数学書というものではありません。しかし、ラマヌジャンにとってはこの本が数学への入り口だったのです。

 一見つまらなく見える簡潔に並べられた結果がラマヌジャンには鮮烈に映りました。



 この本の面白いところはすべての公式が1から6165まで順にナンバリングされていることです。



 公式集は結果だけが淡々と書かれてあります。一つひとつの公式の証明を考えていく時、ラマヌジャンにとって公式集は問題集になりました。

 そして、いつの日からか彼は公式を作り出すようになり、自分の公式をこの公式集のように書きためていきました。それがラマヌジャン・ノートブックと呼ばれる3冊の手書きの冊子です。

 現在、マドラス大学がラマヌジャン・ノートブックを保管しています。2008年に私はその3冊をこの目で見るためにマドラス大学を訪ねました。幸運なことに私は至宝の開示を許可されました。

 ノートには、とても丁寧な文字で関・ベルヌーイ数や円周率πの計算が書かれてありました。はたして、ラマヌジャンは3254個の公式を遺し32歳の若さでこの世を去っていきました。

公式集とは何か

 なぜ、プラスα──辞書・資料集・年表が面白いのでしょうか。それは、「いつ」「どこで」「だれが」を知ることができるからだと私は思います。

 公式集も同じです。『数学公式II 級数・フーリエ解析』を読んでいくと、数学者の名前と時代を知ることになります。

 数学は人とともにあり続けてきました。ラマヌジャンの数学人生は公式集にはじまり、ラマヌジャン・ノートブックという公式集に終わったのです。公式集の羅列から数学がつくられていく時の流れを感じ取ることができます。

 私はインドでラマヌジャン・ノートブックを目の当たりにしてそれを感じました。『数学公式II 級数・フーリエ解析』も同じです。膨大な公式に数学の流れを感じとることができます。

 10代、受験や試験のために覚えされられたわけの分からない呪文──公式。受験がなくなった大人は公式集を「読書」「鑑賞」することができます。『数学公式II 級数・フーリエ解析』があなたを待っています。

筆者:桜井 進