Σと∫ デザインの違い

 Σの呪縛を解くシリーズも第5弾。今回のテーマは「Σと∫が現れる風景」です。前回「アルキメデスの挑戦」では、曲線の面積を求めたアルキメデスのアイデアを紹介しました。

 放物線の曲線部分を小さい三角形で分割し徐々に埋め尽くしていく方法で、最終的に三角形の面積の合計が無限級数の和として求められるというものです。アルキメデスの求積法は積分法の原風景でした。

 紀元前3世紀のアルキメデスから千年以上の時を経て、17世紀に∫がライプニッツ(1646-1716)によってデザインされます。

 記号Σと∫の由来はともに合計SumのSです。ギリシャ文字Σはsigma、積分記号∫はSを上下に伸ばした形です。

 数の違いが記号の形に表れています。Σの変数は自然数1,2,3、…です。自然数が1ずつ大きく変化する様子は階段をイメージさせます。それがΣの直角部分とピッタリ。

 ∫の変数は実数です。実数の特徴は自然数のような離散的ではなく連続的(滑らか)に変化するということです。無限小変化量という考え方です。それが∫の曲線に表れています。∫を使って“曲”の面積を求める求積法が積分法です。

 もう1つ、Σと∫に共通していることがあります。どちらも始まり(下端)と終わり(上端)の数で合計が算出される仕組みです。

 そこで今回は、Σと∫が同時に現れる風景を2つ眺めていきます。「区分求積法」と「オイラー・マクローリンの公式」です。

Σと∫が現れる風景 その1「区分求積法」

 求積において重要な考え方が「下方和」と「上方和」です。これは次の図を見てもらえれば一目瞭然です。

 円の面積を考える場合、図のように円の内側に接するマス目の数(面積)と、円の外側に接する円周と交わっているマス目も含めたマス目の数(面積)を比較します。

 図の場合のそれぞれ16、32となるので円の面積は16よりも大きく、32よりも小さいことが言えます。このような面積をそれぞれ下方和、上方和と言います。円の面積を下方和と上方和で挟み込んでいるわけです。

 円の面積が16より大きく32より小さいとはずいぶん大雑把な見積もりですが、それはマス目が大きいからです。さらに細かい方眼紙で見積もることで下方和と上方和は円の面積に近づきます。

 より正確に面積を知るにはよりメッシュを細かくすればいいわけです。かくして、究極に細かく分ければ(分割数を無限にすれば)、下方和と上方和は円の面積に収束します。これが積分法の基本的な考え方です。

 前回、放物線の面積をアルキメデスとライプニッツの方法で計算しました。そこで、同じ放物線の面積を下方和と上方和を計算し、分割数を無限にするという極限を取ることで計算してみます。

 放物線y=x2(y=x^2)とx軸、直線x=1で囲まれた部分の面積を求めてみます。まず、x軸上の区間をn分割(n等分)します。

 xが0と1の間の区間(幅1)をn等分すると、分割された一つひとつの幅は1/nです。すると、x=0を0番目のx座標x_0=0、次の1番目のx座標x_1は1/n、…、n番目のx座標x_nはn/n=1と表されます。つまり、k番目のx座標x_kはk/nというわけです。

 この準備のもとで下方和sと上方和Sを計算することができます。下方和sは次のように計算され、nを無限大(分割数を無限大)にした極限は1/3と算出されます。

下方和sの計算


 同様にして次の図のように上方和Sも計算できて、極限は1/3と算出されます。

上方和Sの計算


 Σの呪縛を解くシリーズ第1弾「1から10万や奇数、偶数を簡単にたし算する方法」で紹介した高校数学で習うΣの公式が計算途中にでてきます。

 そして、最後にnを無限大にする極限の計算を行います。1/n→0(n→∞)により、下方和s→1/3(n→∞)と上方和S→1/3(n→∞)となり、放物線の面積は1/3と得られます。

 以上の計算方法が区分求積法です。改めてアルキメデスの方法とライプニッツの方法の3つの求積法を比べてみると、ライプニッツの∫の威力──1行完結、極限計算なし──が実感できます。

 区分求積法は、∫の計算をΣで計算するものです。次に紹介するのはこの逆です。Σの計算を∫で計算します。

Σと∫が現れる風景 その2「オイラー・マクローリンの公式」

 分数のたし算1/2+1/3の計算方法は小学校で習います。通分すればいいのです。3つの分数のたし算1/2+1/3+1/4も同じく通分によって和は計算できます。

 では問題です。次の分数の和を求めなさい。

1/1+1/2+1/3+…+1/999998+1/999999+1/1000000=?

 100万項のたし算です。これが自然数の和ならば高校数学のΣの公式で解決します。ところがこの問題は分数の和です。高校数学のΣの公式では太刀打ち不可能です。

 もちろん原理的には小学校で習った通分の方法で計算できますが、100万項の分母の通分を行うことは困難を極めます。しかし、この問題の答え──有限な数値が存在することは明らかです。一体全体どうしたらよいのでしょうか。

 連載「人はたすことをやめない〜オイラーゼータ誕生物語」でオイラーがいかにしてゼータ関数を発見したのかを語りました。そこで紹介したのが調和級数です。

調和級数 1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+…

 ヨハン・ ベルヌーイ(1667-1748)はこの調和級数は発散つまり答が無限大になることを証明してみせました。ところが、次の無限級数

バーゼルの問題


 は収束することは証明できても収束値を得ることが誰もできませんでした。劇的に解決してみせたのがオイラー(1707-1783)です。

 オイラーがこのΣの問題を解くために動員した道具こそ微分積分法です。はたして、バーゼルの問題の解決の先にオイラーがたどり着いたのがゼータ関数だったのです。その詳細は連載を見ていただくとして、今回は調和級数が有限項だったらという問題です。

 面白いことに無限項ある調和級数の方が簡単で、100万項という有限項の分数のたし算の答えを得る方がはるかに難しいのです。

 オイラーがバーゼルの問題を解いてみせたのが1735年のことでした。その3年前の1732年、まさにオイラーがバーゼルの問題に取り組んでいる最中に彼は驚くべき道具を作り上げていました。オイラー・マクローリンの公式です。

オイラー・マクローリンの公式(1732年)


 オイラーはこれをバーゼルの問題解決後の1738年に発表しています。1742年にはマクローリン級数で有名なスコットランドの数学者マクローリン(1698-1746)が独立に発表していることからこの名前がつけられています。

 ここから一気にオイラー・マクローリンの公式を使った計算の風景を駆け抜けていきます。Σの呪縛を解くシリーズの総仕上げです。はたして、100万項の分数の答え──有限な数値に遭遇します。

オイラー・マクローリンの公式を味わう

 残念ながらこの証明を行うには紙面が足りません。しかし公式を味わうことと使うことはできます。

 左辺のΣは第m+1項から第n項までの数列の和です。右辺の第1項の∫はmからnまでの定積分です。ここで注目すべきは両辺に現れるfです。左辺のΣの中にあるのは、自然数kに対する数列f(k)で、右辺第1項の∫の中にあるのは実数xに対する関数f(x)です。

 ざっくり見るとオイラー・マクローリンの公式は「Σ=∫+α」の形をしていることが分かります。

 数列の和Σを定積分∫で評価しようという明解な目的が理解できます。数列f(k)の和Σは短冊状の“ガタガタした形の面積”です。それを関数f(x)で表される“曲線で囲まれる面積”で評価しようということです。

 右辺第1項の定積分∫──“曲線で囲まれる面積”で一気に“ガタガタした形の面積”を押さえてしまいます。

 α(第2項+第3項)は補正を表しています。“ガタガタした形の面積”と“曲線で囲まれる面積”の差のことです。第3項に見えるf(k)(f^(k))は関数fのk回微分を表しています。これはマクローリン級数で関数を近似する風景を連想するといいでしょう。

 関数が0回微分、1回微分、2回微分、3回微分、…∞回微分までの和で表すことは誤差補正をどんどん細かくしていくことを意味しています。

 オイラー・マクローリンの公式は、Σ(“ガタガタした形の面積”)=∫(“曲線で囲まれる面積”)+α(微分を用いて誤差補正)と見ることができるということです。

 さらに詳しく眺めてみると右辺第3項に関・ベルヌーイ数Bも登場しています。関・ベルヌーイ数はΣ公式の一般化するときに現れることを連載「ゼータ関数を支える日本人数学者、関孝和」で紹介しました。

オイラー・マクローリン公式を適用するための準備

 このようにオイラー・マクローリンの公式は、数列の和Σを精密に計算するために積分∫+微分+関・ベルヌーイ数を用いるという計算技法です。

 では100万項の分数のたし算にこの公式を適用する様子を見ていくことにしましょう。

 まず公式を適用するための準備をします。関数をf(x)=1/xとします。次にf(x)を7回微分まで計算して、関・ベルヌーイ数を用いてオイラー・マクローリンの公式の右辺第3項部分を第7項まで展開した式を準備します。

 次がその結果です。

オイラー・マクローリン公式を適用するための準備


オイラー・マクローリン公式を用いた数値計算

 準備ができたので数値計算に入ります。

 問題の最初の10項部分1/1+…+1/10にオイラー・マクローリンの公式を適用すると誤差が大きくなるため、続く1/11+…+1/1000000部分の計算に公式を適用します。

 したがって、左辺Σの下端と上端をそれぞれm=10、n=1000000(10^6)として、右辺のmとnにその数値を代入します。

 右辺第1項は1/xの積分log xが登場します。logはネイピア数eが底である自然対数です。右辺の残りの項は分数になります。

 10の-20乗程度より小さい項を省略して、小数点以下20位まで計算した結果が次です。99万9990項の分数のたし算が、たった9項の計算に集約しているのが分かります。

オイラー・マクローリン公式を用いた数値計算


 この数値に、はじめに計算しなかった最初の10項分の和をたし算すれば、100万項の和が得られます。

1/1+1/2+1/3+…+1/999998+1/999999+1/1000000=?


オイラー・マクローリン公式の検証

 現在の電子計算機を使えば100万項の分数の計算は1行のプログラミングでできてしまいます。

 電子計算機による結果と比べると、オイラー・マクローリン公式による答が小数第11位まで一致していることに驚きを禁じ得ません。

1/1+1/2+1/3+…+1/999998+1/999999+1/1000000=14.39272672286…

 今から285年前、自動計算機は存在しませんでした。オイラーは調和級数に続くバーゼルの問題を解く際に、有限数列の和の計算に迫られました。そして作り出されたのがオイラー・マクローリン公式です。

 Σの数値を得るためにオイラーが動員した数学は、積分法∫、微分法f'(x)、関・ベルヌーイ数B、指数、対数logです。

 1/1+1/2+1/3+…+1/999998+1/999999+1/1000000のような数値計算の答えを手計算で求めることができたオイラーはどれほどの喜びだったのでしょう。

 私が小学生の時、電卓を通して数値計算の魅力にとりつかれたことを連載「電卓遊びが導いた数値計算の世界」で紹介しましたが、その謎解きの中で出会った風景が三角関数、対数、微分積分法(calculus=計算法)、マクローリン級数たちでした。

 なぜ、かくもたくさんの数学が数値計算の謎解きに現れてくるのだろう?

 私は計算の旅をつづける中で感じるようになっていきました。そして、オイラー・マクローリン公式に遭遇した時、疑問は氷解しました。オイラーがゼータの数値計算のために、数学を総動員してつくったのがオイラー・マクローリン公式だったのです。

 これまでの連載で見てきたようにアルキメデス、ネイピア、オイラー、パスカル、ライプニッツ、バベッジらは数値計算とともに新しい数学を切り開いてきたのです。そして現代に生み出されたのが電子計算機なのです。

 オイラー・マクローリン公式は私に、数学の流れの底流に流れるものが数値計算と自動計算の夢であることを気づかせてくれました。

 連載は数値計算の世界、Σの呪縛を解くシリーズと続けてきましたが、当初からオイラー・マクローリン公式を目指して進めてきたのでこれで一区切りつきました。

 Σの計算が、さまざな数学とともに解かれていく風景をみなさんはどう感じ取ったでしょうか。これからも計算の旅は続きます。

筆者:桜井 進