曲線は曲者

 Σの呪縛を解くシリーズ第4弾のテーマは積分法。積分法とは何か。連載「人生を積分して知る驚きの結果、大学生は早下り坂」で紹介しましたが、簡単に言えば曲線で囲まれた図形の面積を求めることです。

 直線の測量が容易なのは「真っ直ぐ」だからです。「真っ直ぐ」でない図形──曲線の測量は困難を極めます。今から2000年以上の昔、曲線に果敢にアタックした数学者がいました。勇者がたどり着いた風景がΣの風景──無限級数です。

 その勇者こそ数学者アルキメデス(紀元前287-紀元前212)であり、彼が考え出した求積法が"取り尽くし法"です。

 アルキメデスは苦労の末、放物線と弦が囲む部分の面積を求めることに成功しました。それも3つの異なる考え方で。著書『方法』に1つ、『放物線の求積』に2つ、その詳細が述べられています。

アルキメデスの第1の方法

 『方法』に記された第1の方法は「三角形の重心」と「仮装天秤」を用いるという突拍子もない方法です。

 三角形の重心は、中線(頂点から対辺の中点に引いた線分)を2対1に内分する点のことです。天秤にかけられた2つの物体は、重さと距離が反比例の関係にあるときにつり合います。これが「てこの原理」です。

 「わたしに立つ場所を与えよ。そうすれば地球をも動かしてみせよう」

 有名なこの言葉は、アルキメデスがいかにてこの原理を知り尽くしていたかを物語っています。

 ガリレオが「自然は数学の言語で書かれている」と言ったのは17世紀。その2000年前に同じことをすでに見抜いていたのがアルキメデスでした。

 数学という思考実験は現実の物理実験を凌駕する威力を持つことを発見したアルキメデス。彼の頭脳にあったのは、ガリレオを超えてニュートンの思考実験に通じ、さらには現代科学の神髄までを貫く思想です。

 このおかげでいま私たちは到底手が届かないミクロの世界とマクロな世界の両方を手にすることができたと言えます。

 「いかにして曲線図形の面積を直線図形と等しくするか」

 これこそ問題の核心でした。ここから、放物線の切片──弦と放物線で囲まれた部分の面積は内接する三角形の4/3倍になることが導かれるのです。いったい誰が三角形の重心と天秤が放物線を解く道具になると考えたでしょうか。

アルキメデスの第2の方法

 こうしてこの最初の論証からは技術者としてアルキメデスの姿が浮かび上がります。第2の方法はまだ仮想天秤を用いていますが、背理法という新しいアイデアが採用されています。

 放物線の切片の面積が、内接する三角形の面積の4/3倍よりも大きいという仮定と4/3倍よりも小さいという仮定のどちらにも矛盾することを示すという証明法です。

 結論を否定して仮定と矛盾を導くことで結論の正しさを示すのが背理法ですが、アルキメデスはこれを2回用いることで、放物線の切片の面積が、内接する三角形の面積の4/3倍であることを証明しました。これは二重帰謬法(きびゅうほう)ともよばれます。

アルキメデスの第3の方法

 この背理法が引き継がれていったのが第3の方法です。ここでアルキメデスは天秤を捨て去りました。天秤に代わった考え方が無限に分割したものをたし算する技です。

 第3の方法──取り尽くし法──をじっくり紐解いていきます。

 与えられた放物線とそれを切る直線で囲まれた部分A、B、Cを放物線の切片、接線が弦ABと平行になる放物線上の点Cを頂点(いわゆる放物線の軸と放物線の交点である頂点のことではなく接点のことで"弦に対する頂点"という使い方をします)と言います。このとき、アルキメデスが得た結論は次のようになります。

(切片ABCの面積)=(三角形ABCの面積)×4/3


 まず基本になるのが、放物線の頂点の性質です。頂点は弦に平行な接線が放物線と交わる接点ですが、頂点Cを通り軸に平行な直線と弦ABの交点MはABの中点となります。

 次に頂点CとAを結ぶ線分を弦とします。弦ACに対する頂点D1を通り軸に平行な直線がABと交わる点M1がAMの中点となります。

 ここは結論を急ぐためにアルキメデスの論証を再現することよりも微分法を用いてこの性質を確認しておきましょう。

 いま放物線をy=x2(y=x^2)とします。微分すれば、y'=2xなので点C(x=t)における接線の方程式はy=f'(t)(x-t)+f(t)よりy=2t(x-t)+t2=2tx-t2です。

 さて、放物線上の任意の異なる2点をA(a,a2)、B(b,b2)とすれば直線ABの傾きが(b2-a2)/(b-a)=a+bであることから、接線の傾きy'=2xが直線ABのそれと等しくなるのは2x=a+bとなりx=(a+b)/2が得られます。つまり、弦ABの中点のx座標=接点Cのx座標であるということです。

 この接点の性質から「△ACD1の面積は△ABCの面積の1/8」という面積の関係が導かれます。

 これも座標を用いた方が分かりやすいです。

 前述と同じく放物線をy=x2(y=x^2)としてA(1,1)、B(-1,1)とすると、頂点Cは原点Oとなります。頂点の性質から弦ACに対する頂点D1の座標は(1/2,1/4)と分かります。

 いま、△CPD1と△APD1の面積が等しい(底辺をPD1と考えて高さが等しいから)ことからこの面積を1とします。辺の長さの比から△CMAの面積は2+2+4=8なので△ABCの面積はその2倍で16です。

 △ACD1の面積が1+1=2ですから「△ACD1の面積は△ABCの面積の1/8」が示されました。

 これで切片ABCの面積を計算する準備の半分が終わりました。残りの半分が「無限等比級数の和」です。

切片ABCの面積=無限等比級数の和

 次の図のように放物線上に頂点を順に作っていきます。

頂点 C→〈D1,D2〉→〈E1,E2,E3,E4〉→…

 その頂点に対して、次のように三角形ができます。

△ABC→〈△AD1C+△AD2C〉→〈△AE1C+△AE2C+△AE3C+△AE4C〉→…

 すると、これらの三角形で切片が埋め尽くされることが分かります。

 先の結果「△ACD1の面積は△ABCの面積の1/8」より、〈△AD1C+△AD2C〉の面積は△ABCの面積の1/4であることが分かります。

 次に、〈△AE1C+△AE2C+△AE3C+△AE4C〉と〈△AD1C+△AD2C〉の面積の関係も前段階と同じですからやはり1/4倍になることが分かります。

 ここで、頂点ができる段階ごとの三角形の合計の面積を次のようにT1、T2、T3、…とします。

T1=△ABC
T2=△AD1C+△AD2C
T3=△AE1C+△AE2C+△AE3C+△AE4C

 すると、T1、T2、T3、…は公比1/4の等比数列になり、切片ABCの面積はT1+T2+T3+…として得られることになります。

 これは前回「無限にたし算する風景」で紹介した無限等比級数にほかなりません。

 -1<公比<1であれば無限等比級数は収束して、その和は(初項)/(1-公比)となります。この公式に当てはめて計算してみると、次の結論が得られます。
(切片ABCの面積)=(三角形ABCの面積)×4/3

 左辺の切片という曲線が右辺の三角形に変換されています。「いかにして曲線図形の面積を直線図形と等しくするか」が達成されたことになります。

アルキメデスVSライプニッツ

 せっかくなのでこの結論を用いて具体的に面積を計算してみましょう。放物線y=x2(y=x^2)とx軸、直線x=1で囲まれた部分の面積を求めてみます。はたして、次のように1/3と得られます。

 これが、アルキメデスの取り尽くし法と呼ばれる求積法です。最後の問題は17世紀の数学者ライプニッツ(1646-1716)の積分法──∫インテグラルを用いれば1行で計算がすんでしまいます。

ライプニッツの積分法

 2人の計算の風景を比べると数学の流れが見えてきます。ライプニッツの積分法は座標や代数が用いられ、そこにはあるはずの無限が描かれていません。

 それに対して、アルキメデスは幾何学と論理(背理法)だけで曲線の求積に成功しました。アルキメデスが放物線という対象に立ち向かった先に遭遇した風景が無限です。

 ここで紹介した解説は現代の私たちに分かるように説明し直しましたが、放物線の切片を無限に分割してそれを足し合わせる技は積分法にほかなりません。17世紀の積分法の萌芽をアルキメデスに見ることができます。

 座標や代数が考え出されるはるか昔に描かれた思考の絵に、私たちは驚かずにはいられません。それは現代数学の原風景であったのです。

 1998年、突然アルキメデスが現れました。数百年間コンスタンティノープルの修道院図書館に所蔵されていたアルキメデスの写本「パリンプセスト」が競売にかけられ日の目を見ることになったのです。

 1999年、その「パリンプセスト」が最先端の情報技術と研究者の手によって解読され、今回紹介した著作『方法』の内容が現代に甦りました。『解読!アルキメデス写本』(ウィリアム・ノエル 、リヴィエル・ネッツ著、光文社)には研究者がアルキメデスに遭遇した瞬間の興奮が綴られています。

 今回のΣの呪縛を解く鍵は、曲線の求積を幾何学的に見ることでした。次回はΣと積分法∫の風景に迫っていきます。

筆者:桜井 進