Σ記号=たし算命令指示書

 Σの呪縛を解くシリーズ第2弾。前回「1から10万や奇数、偶数を簡単にたし算する方法」では、Σの呪縛を解くカギが「図形」でした。今回のカギは「見つめる」です。

 Σ記号とは言うならば「たし算命令指示書」です。

 4つの指示──「変数」「始まりの整数値」「終わりの整数値」そして「数式」が明記されると、「変数の値を始まりの整数値から1ずつ増やして終わりの整数値まで順に、数式に代入してすべてたし算せよ」という内容になります。

 もし、4つの指示がそれぞれ「k」「1」「4」「2k」であれば、「kの値を1、2、3、4と順に、数式2kに代入してすべてたし算せよ」となるので、「2+4+6+8」を表します。

 「変数」は整数値をとることがΣのルールです。ですから変数にはi、j、k、l、m、nといった数学で整数値を表す文字が用いられます。

"苦役"だったΣ公式の計算練習

 そして、「Σ公式」とは、「始まりの整数値」を1、「終わりの整数値」をnとした場合の総和をnで表した式のことです。例えば、4つの指示が「k」「1」「n」「k」の場合のΣ公式は、1+2+3+…+n=n(n+1)/2です。

 これから、4つの指示が「k」「1」「n」「2k」の場合のΣ公式は、2+4+6+…+2n=n(n+1)と分かります。

 「Σ公式」を用いれば、「たし算命令指示書」の結果は、nに「終わりの整数値」を代入するだけで得られることになります。先の「2+4+6+8」の結果は、このたし算を実行する代わりに公式「n(n+1)」のnに「終わりの整数値」である4を代入して4×(4+1)=20と得られます。

 「Σ公式」は「始まりの整数値」1から「終わりの整数値」nまで順に、「数式」に総て代入した和を求めるものなので、総和公式とも呼ばれます。

 高校数学の教科書には、数式がk、kの2乗、kの3乗の総和公式が登場します。はたして、総和公式(左辺がΣの式、右辺がnの式)を使った計算練習が"苦役"のごとく高校生に要求されます。Σという「たし算命令指示書」に従い、面倒なだけのnの計算。こんな計算に興味が持てるはずがないじゃないですか!

 前回も言いましたが、Σの本来の目的はたし算です。"苦役"から受ける印象はたし算どころか何をしているのかさえ分からなくなる酷いものです。

 まさしく「苦役に耐える」だったのです。いったい、「Σ」を見るとフラッシュバックのように"苦役"が思い出される人がどれだけいるのでしょうか。

 「たし算命令指示書」としてのΣの計算は苦役ではありません。苦役なのはΣの式のたし算を本当に実行することです。

 もし「終わりの整数値」が10000と指示されれば、変数に1から10000まで順に代入してたし算を行わなければなりません。そもそもΣ記号がなければ10000項のたし算の式を筆記するだけで重労働です。ましてやそのたし算を実行するなんて!

Σ、マジ最悪なんですけど!

 Σ記号のおかげで膨大な筆記時間が大幅に短縮され、総和公式のおかげで膨大なたし算の単純作業から解放されます。「Σはスゴイ!」と思わせてしかるべきなのに「マジΣ最悪!意味わからないし、カンベンして!」と言わせてしまう始末。

 挙げ句のはてには「どう書けばいいの?Σ。うまく書けない!」です。

 拙書「面白くて眠れなくなる数学」の中でも述べたことですが、高校ではギリシャ文字の綴り方を練習させることはないので、大学生でもベータ「β」がこざとへん「阝」の書き順で書く学生が大勢います。

 私が大学生時代、予備校で数学と物理を教えていた時にはギリシャ文字綴り方教室と題してギリシャ文字の大文字・小文字の書き順の練習を徹底させていました。ローマ字は綴り方の練習をしたおかげで書けるようになります。ギリシャ文字も同じです。

 Σをきれいに書ける文房具が母校の生協で販売されています。東工大の学生によってデザインされた東工大オリシ゛ナルテンフ゜レートです。

 数学記号Σ、∫、ギリシャ文字δやζ、電気記号、化学記号、論理回路記号など記号や図形をきれいに描くことができます。

東工大オリシ゛ナルテンフ゜レート


ギリシャ文字Σ(sigma)は合計sumのs

 文字の話と言えば、なぜΣ(sigma)なのか。合計や総計を表す英語がsum。そのSがギリシャ文字Σ(sigma)です。

 Σの「変数」は整数値です。「始まりの整数値」から1ずつ「終わりの整数値」nまで上がっていきます。まさに階段を上がっていくイメージです。

 英語sumの語源であるラテン語のsummaには最も高い所、頂上、最も重要なところ、総計といった意味があります。なるほど、上下が真っ平らで階段の直角の形を持つ文字「Σ」はイメージ通りの字体です。

 さて、Σが"苦役"だった過去をいったん忘れましょう。ここから先の作業はたし算でもなければnに数値を代入する計算でもありません。ただ「見つめる」だけです。

20乗までのΣ公式を見つめる

 計算の必要なし。ひたすらΣの数式を眺めてみます。前回、中途半端にΣの数式を画像とテキスト表示を併記しましたが、分かりづらいテキスト表示はなしにします。画像をクリックして拡大表示をじっくりご覧ください。

 高校数学の総和公式は「数式」がkの3次式(正確にはべき和公式)までです。さらに先の風景を見てみます。以下、1次から20次までの総和公式です。「数式」がk、kの2乗、3乗、…、19乗、20乗の場合のΣ公式をS1、S2、…、S19、S20で表しています。

総和公式(1乗から10乗まで)


総和公式(11乗から20乗まで)


 公式の右辺はnの多項式です。そこで、nの次数に注目してみると、S1はnの2次式、S2はnの3次式、…、S19はnの20次式、S20はnの21次式であることが分かります。

 それと同時に分かるのがそれら最高次の係数です。S1はnの2次式の係数が1/2、S2はnの3次式の係数は1/3、…、S19はnの20次式の係数は1/20、S20はnの21次式の係数は1/21です。

 このような考察の先に見えてきた風景が連載「ゼータ関数を支える日本人数学者、関孝和」でも詳細に紹介した「関・ベルヌーイ数」と「関・ベルヌーイのべき和公式」です。

 関孝和(1640-1708)とヤコブ・ベルヌーイ(1654-1705)の2人はほぼ同時にS1、S2、…、S10までのΣ公式から一般にSp(kのp乗)を求めることに成功しました。

因数分解したΣ公式から見えてくること

 次にΣ公式の右辺を因数分解したものを見てみます。

総和公式(1乗から10乗まで)因数分解バージョン


総和公式(11乗から20乗まで)因数分解バージョン


 注目すべきは次の事実です。

「S3がS1の2乗で表される」…(☆)

 高校数学教科書において、3つの総和公式S1、S2、S3は因数分解したものが記載されているので、高校生は(☆)を知ることになります。

 さて、S4からS20までの因数分解バージョンの数式を「見つめる」ことで気づくことがあります。次は赤と青で見やすくしたものです。n(n+1)を赤、n(n+1)(2n+1)を青で表しています。

総和公式(1乗から10乗まで)因数分解色識別バージョン


総和公式(11乗から20乗まで)因数分解色識別バージョン


 はたして、赤と青が交互のパターンが見えてきます。そこでS3、S5、…、S19まで奇数乗とS4、S6、…、S20の偶数乗に分けて詳しく分析してみます。まずは奇数乗からです。

総和公式(奇数乗S3、S5、…、S19)


 S3、S5、…、S19まですべてS2の2乗(青数式)を因数に持つことが一目瞭然です。

 次に、S4、S6、…、S20の偶数乗です。

総和公式(偶数乗S4、S6、S8、…、S20)偶数


 これも赤と青のパターンが一目瞭然になります。S4、S6、S8、…、S20はS2(青数式)を因数に持つこと、そして残りの因数(青S2の右隣の()内数式)はS1(赤数式)の多項式で表されています。

ファウルハーバーの定理

 この事実の発見者がドイツの数学者ファウルハーバー(1580-1635)です。現在ではファウルハーバーの定理と呼ばれています。

総和公式Skについて、
 kが3以上の奇数の場合、SkはS2の2乗で割り切れる。
 kが4以上の偶数の場合、SkはS2を因数に持ち、残りの因数はS1の多項式で表される。

 ファウルハーバーはS17までのパターンからこのルールを発見し、1631年の著書『Academia Algebrae』で発表しています。

 関・ベルヌーイの公式は、関孝和が1712年の『括用算法(かつようさんぽう)』とヤコブ・ベルヌーイが1713年の『Ars Conjectandi(推測術)』ですから、ファウルハーバーはその80年前に定理を発見していたことになります。

 さらにその後、1834年になってドイツの数学者ヤコビ(1804-1851)によってファウルハーバーの定理はようやく証明されました。

 連載「ジョン・ネイピア物語〜対数は天文学者の寿命を2倍にした」で紹介した、ネイピアとブリッグスによる対数表完成までのドラマですが、ドイツにおける最初のブリッグスの対数表はファウルハーバーによって作られています。

 高校時代に覚えた(☆)は実は一般化される事実だったということです。「パターン&ルール」こそ数学です。パターンをつくること(S1からS20までの計算)、パターンを見つめること、そしてパターンからルールを発見すること、そしてルールの吟味と証明へと続いていきます。

 今回のΣの呪縛を解くカギは「見つめる」でした。もう一度S1からS20までのΣ公式をじっくり見つめてみてください。

 そのパターンからルールが見えたとき何かを感じ取るはずです。それこそΣの呪縛が解かれ始めている証拠です。Σの呪縛を解くシリーズはまだまだ続きます。

筆者:桜井 進