たし算に始まりたし算に終わる物語

 連載「人はたすことをやめない〜オイラーゼータ誕生物語」から「サラリーマンのための超入門・リーマン予想4」まで7回にわたり、ゼータ関数誕生物語からリーマン予想まで一気に駆け抜けました。

 この物語の根底に流れる通奏低音は「たし算」の音楽です。物語は小学校1年のたし算から始まります。次にひき算、たし算を繰り返す演算としてかけ算が定義され、ようやくわり算へとたどり着きます。

 次にたし算がクローズアップするのは高校数学のΣです。ここでは多くの項、それもべき乗したものの和を考えます。

 実際にたし算をすることは少なく、和を求めるためのΣの公式に慣れることで時間が過ぎていきます。もはや、たし算をしている気分ではなく、Σが何を意味するのかも分からぬまま授業に耐えているだけだった人もいたはずです。

 そして高校数学のクライマックスとして微分積分にたどり着きます。やはりここでも微分と積分が何を意味するのか半信半疑のまま、必死に公式を覚え命令された練習問題を解かされる奴隷のような日々だったかもしれません。

 積分は連載「人生を積分して知る驚きの結果、大学生は早下り坂」で取り上げました。無限に分割したものを無限にたす技が積分法です。言うならば積分法とは“スーパーたし算”と呼ぶにふさわしい計算法です。

 そして、連載「ジョン・ネイピア物語〜対数は天文学者の寿命を2倍にした」「ビッグ・データ時代に対数表を味わう」では、高校数学に突如登場する「対数」が三角関数の発展の末に生み出されたイノベーションであることを紹介しました。その核心は「かけ算がたし算に変身するマジック」です。

 こうして、小学1年から高校3年まで続く数学とは「たし算に始まりたし算に終わる物語」であると言えます。

 小学1年のたし算については連載「知って得する、いかに早く計算するか」で「頭からたし算」という技を紹介しました。対数や微分積分さらにはゼータ関数とリーマン予想も連載で集中的に取り上げてきました。そこで、ここからΣをテーマにしていこうと思います。

Σの呪縛

 Σとはいったい何だったのか。わけの分からない記号、何の興味も関心も湧かない奇妙な呪文だとしたらそれは数学嫌いにする呪文だったと言えます。Σという呪縛の正体を見つめ直しながら、呪縛を解いていきましょう。

 Σとはたし算です。小学1年の算数教科書に登場する以前に、私たちはたすという演算を自然に習得しています。

 小学校の算数では公式を覚える作業よりも純粋に問題を解くことにウェイトが置かれます。ところが中学数学から突如、わけの分からない数学用語と記号の奇襲に遭い、公式に被弾されてしまいます。

 はたして、高校数学では後の祭りになってしまう人が生まれてしまいます。

 せっかくΣはたし算の進化した興味深い世界にもかかわらず、公式に押しつぶされている憔悴した状況からは抜け出せない現実に悪戦苦闘するだけで、Σに純粋に興味関心を持つことなどできなくなってしまいます。

 公式にやられてしまった高校生が、プリミティブな演算──たし算としてΣを実感する余裕などなかったのです。すべては試験や受験のための数学だったのですから。

 今こそ、純粋にΣの風景を見つめ、味わってみましょう。幼いときにたし算ができることに喜びを覚えたあの感動を呼び覚ましてみましょう。それこそ大人の特権です。

Σのお作法

 Σ記号は、たし算を簡略化するためのものです。数式「1+1」は簡略する必要はありません。2項しかないからです。しかし、項数が1000にもなる数式「1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+…+999+1000」は途中を「…」を用いる必要がありすべてを書き表すことは困難になります。

 そこでΣ記号の出番です。Σの右隣と上下にそれぞれ「k」「k=1000」「k=1」を記すだけでいいのです。

 ただしΣの表記法にはいくつかのお約束があります。Σは数列の和であることです。

 「1+2+3+4+5」は数列{1、2、3、4、5}の和とみなします。「1」「2」「3」「4」「5」が数列の項です。別な数列{2、4、6、8、10}を合わせて考えるとするとこれら2つの数列を区別する必要があります。それぞれ「a」「b」とラベリングすると、

数列{a_n}={1、2、3、4、5}
数列{b_n}={2、4、6、8、10}

 のようにa、bの下付に「n」という添え字(ナンバリング)をつけます。下付はテキスト表示では「_n」と表します。

a_1=1、a_2=2、a_3=3、a_4=4、a_5=5、
b_1=2、b_2=4、b_3=6、b_4=8、b_5=10

 数列で重要なのが「一般項」です。簡単に言えば、数列{a_n}の{}の中のa_nのことです。

 数列の{a_n}の場合、初項(第1項)がa_1、末項(第5項)がa_5、そして一般項(第n項)がa_n=nとなります。数列の{b_n}の場合、初項(第1項)がb_1、末項(第5項)がb_5、そして一般項(第n項)がb_n=2nとなります。

 数列の記述法が分かれば、Σはあっという間です。Σの記述法の要素は次の4つです。

(竸堯憤貳鵡爐離淵鵐丱螢鵐亜
下端(初項のナンバリング)
上端(末項のナンバリング)
た列の一般項

 ここで注意は、一般項のナンバリングがkであることです。末項のナンバリングにnが使われているので、一般項は第k項としてkが1からnまで変化することになります。だからkは変数と呼ばれます。

 したがって、数列{a_n}と数列{b_n}の和はΣを用いて

1+2+3+4+5=Σ_{k=1}^{5} k((竸k、下端1、上端5)
2+4+6+8+10=Σ_{k=1}^{5} 2k((竸k、下端1、上端5)

 と表されます。

高校数学のΣ公式

 次が高校数学教科書に載っているΣの公式です。

高校数学で習うΣの公式


 これを公式として覚えただけでは興味関心が持てるはずがありません。実際にたし算をしてみることです。それをするかしないかではΣの受け止め方は変わってきます。

 n=5としてたし算をしてみます。

1+2+3+4+5=15
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=1+4+9+16+25=55
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=1+8+27+64+125=225

 次に公式でn=5を代入してみましょう。

1/2×5×6=15
1/6×5×6×11=55
(1/2×5×6)^2=15^2=225

 確かにたし算した結果と合っています。なるほど、1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+…+999+1000でも公式でn=1000を代入すれば

1+2+…+999+1000=1/2×1000×1001=500500

 と和が求められます。

少年ガウスのたし算

 しかし、これだけではΣの計算に大いに面白いと思うかと言えば、そうでないでしょう。たとえ公式の証明が分かったとしてもです。Σk^3の公式の証明は連載「人はたすことをやめない〜Σの原風景」をご覧下さい。公式の証明はそれなりに達成感はあります。

 有名なたし算の逸話があります。連載にたびたび登場するドイツの数学者ガウス(1777-1855)は3歳で父親の計算の誤りを指摘したそうです。「わたしは物を言うより前に数を数えることを覚えた」と語るほどの天賦の才の持ち主でした。

 ガウスが10歳の時です。担任の先生はクラス全員に1から100までたし算したらいくつになるかという問題を出したと言われています。実際にはどのような計算問題だったのか記録は残されていないようなので100までとして語られています。

 1+2=3、3+3=6、6+4=10、10+5=15、と1から順にたしていくクラスメイトは途中で計算をあきらめてしまいます。そんな中、ガウスだけはどうやったらうまくたし算ができるかをじっと考えました。答えをパッとだしてみせたガウスに先生はじめクラス全員が驚いたのです。

 ガウスの発想は、たし算「1+2+3+…+100」を形の問題に変換したことにあります。連続する自然数のたし算とは、レンガを1つずつ積み上げた階段状のレンガの個数の合計を求めることすなわち断面からみれば「面積」を求めることと同じであることに気づいたのです。

 たし算「1+2+3+…+100」の織りなす形は台形です。台形の面積=(上底+下底)×高さ÷2に上底が1、下底が100、高さが100を当てはめて、(1+100)×100÷2=101×50=5050と答えを求めることができます。

連続する自然数のたし算

 ガウスに倣って、さらにたし算の計算を見つめ直してみます。次の連続する10個の自然数のたし算をじっと眺めてみてください。面白いルールが隠れています。

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55
4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=85
8+9+10+11+12+13+14+15+16+17=125
16+17+18+19+20+21+22+23+24+25=205
32+33+34+35+36+37+38+39+40+41=365

 答の一の位がどれも5です。そして、十の位以上の数だけに注目してみると、それは小さい方から5番目の数になっています。

 23+24+25+26+27+28+29+30+31+32 ならば、小さい方から順に5番目の数は27なのでそれを十の位以上の数として一の位を5として答えは275ということです。

 連続する10個の自然数のたし算は「五番目の数の後ろに5をつける」となります。これも図形に変換することで説明できます。

 すると100個、1000個の場合にも同じように和が求められることが分かります。数学絵本「親子で楽しむ わくわく数の世界の大冒険」(桜井進著、日本図書センター)をぜひ手にとって親子で楽しんでみてください。

 先に公式で計算した1000個場合は

1+2+…+999+1000=(500番目の数の後ろに500をつける)=500,500

 と計算できることになります。

連続する奇数のたし算

 図形に変換することで和が求められる風景は面白いです。ではもう1つ簡単な問題を紹介しましょう。連続する奇数のたし算です。

1+3+5+7+9=25

 このたし算を図形に変換すると次のようになります。

 逆L字型のブロックを重ねると面白いことに正方形になります。正方形の面積は「辺の長さ」の2乗として求められます。「辺の長さ」は項数のことなので、

連続する奇数の和=項数の2乗
1+3+5+7+9=(項数5の2乗)=25

 ということです。

 連続する奇数のたし算はΣで表すことができます。初項を1、末項を2n-1、一般項を2k-1として

1+3+5+…+(2n-1)= Σ_{k=1}^{n} (2k-1)((竸k、下端1、上端n)

となります。すると、正方形の面積の考え方から

1+3+5+…+(2n-1)= Σ_{k=1}^{n} (2k-1)=n^2

 が分かります。Σの公式を用いずとも分かったことになります。

Σの呪縛を解くカギ

 「図形」がΣの呪縛を解くカギの1つだということです。たし算が台形や正方形の面積の公式につながる風景は、私たちをさらなるΣの面白さに導いてくれます。次回「無限のたし算」に続きます。

 最後に問題を1つ。連続する偶数のたし算の計算公式をこの面積の考え方で求めてみてください。

2+4+6+…+2n=?

 

筆者:桜井 進