当たりをつける計算方法

 「一夜一夜に人見ごろ(ひとよひとよにひとみごろ)」「人並みにおごれや(ひとなみにおごれや)」「富士山麓にオーム鳴く(ふじさんろくにおーむなく)」。

 それぞれ√2、√3、√5の語呂合わせによる覚え方です。

 √2=1.41421356…
 √3=1.7320508…
 √5=2.2360679…

 前回「電卓はいかに計算しているのか」では私の電卓の思い出を紹介しました。√キーに興味を持ったことが、電卓を道具から謎解きおもちゃに変身させました。

 今回はその√の数値計算の様子を覗いていきたいと思います。3つの計算方法を紹介します。

 最初は「当たりをつける計算方法」です。必要なのは2乗の計算だけなので最も基本的な方法と言えます。まず、12=1、22=4ですから√2の整数部分は1です。次に小数第1位を考えるわけですが、0から9までの10通りの数の中から当たりをつけてどれか選びます。

 1.5と小数第1位に5を選んだならば、2乗します。

1.5×1.5=2.25>2

 これは2より大きいので、1.5より小さい1.4を選んでみます。

1.4×1.4=1.96<2

 2より小さいので、小数第1位は4です。次に小数第2位を考えます。

1.41×1.41=1.9881
1.42×1.42=2.0164

 これより、小数第2位は1。次に小数第3位を考えます。

1.414×1.414=1.999396
1.415×1.415=2.002225

 これより、小数第3位は4。次に小数第4位を考えます。

1.4142×1.4142=1.99996164
1.4143×1.4143=2.00024449

これより、小数第4位は2。したがって、

√2=1.4142…

 と分かります。

 このように当たりをつける計算方法では、2乗した値が2を挟むことを確認しながら√2の値が1桁ずつ算出されていきます。

 ここには結果として正しい場合だけを載せましたが、実際は当たりをつける以上外れる場合もあり手間がかります。

 2乗の計算が必要なので効率は良くはありませんが、特別な知識もなく確実に算出できる方法です。

開平法

 次に紹介するのは当たりをつける方法を改善した計算方法です。実際に筆算を眺めてもらうのが分かりやすいでしょう。わり算の筆算のような感じに途中計算が進行します。

(*配信先のサイトでこの記事をお読みの方はこちらで本記事の計算式や図をご覧いただけます。http://jbpress.ismedia.jp/articles/-/48952)

ステップ1.小数点を基準に大きい方、小さい方を2桁ずつ区切ります。
ステップ2.√の中の左のブロックの「2」以下となる最大の整数「1」を求める。その「1」を左側に上下と√の2の上にに書きます。√の「2」の下に1×1の積1を書きます。

ステップ3.左側、右側をそれぞれたし算、ひき算します。

ステップ4.√の中の「00」を下に降ろします。左側を「2□」として2□×□が100以下になる最大の整数□を求めます。24×4=96なので□には「4」が入ります。「4」を□部分と√の上にに書きます。

ステップ5.以下ステップ3とステップ4を繰り返していきます。左側24+4=28、右側100-96=4と計算して「28」「400」と書きます。

 28□×□が400以下になる最大の整数□を求めます。281×1=281なので□には「1」が入ります。

 左側281+1=282、右側400-281=119と計算して「282」「11900」と書きます。282□×□が11900以下になる最大の整数□を求めます。2824×4=11296なので□には「4」が入ります。

 左側2824+4=2828、右側11900-11296=604と計算して「2828」「60400」と書きます。2828□×□が60400以下になる最大の整数□を求めます。28282×2=56564なので□には「2」が入ります。

 最後に√の中の小数点「.」を√の真上に書いて√2の近似値が「1.4142」と求まります。

 この開平法は最初の当たりをつける計算法に比べて2乗の計算を必要としないだけ効率は良くなっていますが、√2の値が1桁ずつ算出されていく様子は変わりありません。

ニュートン法

 そして3番目のニュートン法です。これまでの2つの計算方法と大きく異なるのがスピードです。

 いかに速く√2の近似値が算出されるのかを見ていただきましょう。

 √2という数は方程式x2=2のxを満たす数です。すると関数y=x2-2のグラフのx切片(グラフとx軸の交点)を√2と見ることができます。

 まず、放物線上のx切片でない適当な1点を選びます。そのx座標をx1として、その点を接点とする接線を求めます。次に、この接線のx切片(x軸との交点)をx2とします。

 同じように、y=x2である放物線上の接線を求め、この接線のx切片をx3とします。このように接点、接線、x切片xnを逐次求めていくとき、x切片xnが√2に限りなく近づいていきます。

 曲線の接線の方程式を求めるときに活躍するのが微分法です。連載「運動を語る言葉、「微分」の正体」では、「微分=勢い」であることを説明しました。曲線における微分(=勢い)とは接線の傾きを表します。

 関数xnの微分はnxn-1と計算されます。この公式を用いて関数y=x2-2の微分は2xとなります。すると、接点のx座標がx=xnにおける接線の方程式が求まります。

 接線の方程式でy=0としてx切片が得られます。このx切片は次の接点のx座標となるのでxn+1と表します。xnとxn+1の関係式を用いることで、接点のx座標xnは初項x1からx2、x3、x4、…と算出されていきます。

 実際の計算過程は次のようになります。

 この計算結果をグラフに表してみると接点のx座標が√2に近づいていく様子が鮮明に分かります。

x1=1
x2=1.5
x3=1.416666666
x4=1.41421568
x5=1.414213562
√2=1.41421356237…

 これだけのステップで√2の小数点以下9桁まで正しい数値が算出されます。これが最初の2つの計算方法にはないスピードです。放物線という曲線を使うことで√2の近似値が速く得られることに驚くばかりです。

 前回の最後でも述べたように、微分積分法がcalculus(計算法)と呼ばれる理由が、数値計算に対する威力にあります。

 まっすぐな直線を測ることは容易ですが、曲線を測ることは困難を極めます。人類は長い時間をかけてその困難を克服しました。その超絶技法こそ微分積分法なのです。

 微分積分について語ったこれまでの連載「人類最高傑作、微分積分はこうして生まれた」「人生を積分して知る驚きの結果、大学生は早下り坂」も併せてお読みください。

筆者:桜井 進