電卓の√キーの思い出

 私が電卓に夢中になり始めたのが10歳から11歳です。きっかけは√キーです。√の意味を知らない小学5年生の私は、ふと思いつきました。√に続けて1、2、3、4、5、…と順に数値を代入してみようと。

 √→1=1、√→2=1.4142135、√→3=1.7320508、√→4=2、√→5=2.2360679、√→6=2.4494897、√→7=2.6457513、√→8=2.8284271、√→9=3、√→10=3.1622776

 8桁の液晶画面には数字が並びます。そのパターンから始めに気づいたのはリズムです。2、3、5、6、7、8、10に対して√の値は8桁の数字が返ってきますが、1、4、9に対するそれは1桁の整数値です。

 「はてな?」と思いながら、11、12、13、14、15、16と続きを試してみました。11から15に対する√の値は8桁の数字です。√→16=4が表示された時に「おっ!」と思いました。

 たった16個のパターンからルールが浮かんできたからです。1、4、9、16に対する√の値がそれぞれ1、2、3、4です。1、2、3、4のリズムに自然数というルールかも?と気づいたわけです。

 自然数というルールは次が、□→√=5となることを推測させてくれます。ここで、1、4、9、16と1、2、3、4の関係を考えたことは言うまでもありません。1、2、3、4の2乗がそれぞれ1、4、9、16です。ならば、5の2乗の25が□の数ではないだろうか。

 さらに続けます。17、18、19、20、21、22、23、24に対する√の値は8桁の数字です。そして、25→√=5となった瞬間、ルールは確信に近づいていきます。36→√=6、49→√=7、64→√=8、81→√=9、100→√=10、「やっぱり」。

 そして、√→2=1.4142135が1.4142135を2乗したのが2ということをつかみました。さらに、

1.4142135×1.4142135=1.9999998

 という電卓の結果は1.4142135は√2の本当の値ではなく近似値であることを示しています。だから、□×□=2となる√2は割り切れない数なのではないか、とも思いました。

 実際には高々10分のことでした。電卓は与えられた計算問題を解くための道具ですが、短い時間の間に計算の謎解き問題を与えてくれる楽しいおもちゃに変身したのです。おもちゃとしての電卓は、私にパターンからルールを見つける面白さを気づかせてくれました。

 最後の推測は、√2が非循環無限小数すなわち無理数ではないのかということです。自然数から始まる数の発見物語の1つの終着点が「実数とは何か」という問題です。

 大学生になって高木貞治の『解析概論』を本格的に読んだ時、私は実数概念の難しさを実感しました。小学5年生の時に電卓が与えてくれた感覚が、実は実数概念の初体験だったことを同時に気づきました。

√キーの不思議

 さらに電卓遊びは続きます。√の計算の興味ある挙動をつかんだのもその時です。

 1以上の数に対して、√キーをたたき続けると終いには1になることが知られています。

2→1.4142136→1.1892071→…→1.0006771→…→1.0000002
→1.0000001→1 最後は1!

3→1.7320508→1.316074→…→1.0005366→…→1.0000005
→1.0000003→1.0000001→1 最後は1!

1234→35.1283361→…→1.0004345→…→1.0000004
→1.0000002→1.0000001→1 最後は1!

 このパターンを観察しているうちに私はさらに次の現象をとらえました。それは1に収束する終盤のステップです。

 小数点以下部分が√キーを叩く度に半分になることです。計算ステップを注意深くながめてみると、はじめのうちは小数点以下はぴたり半分にならずステップが進むに連れ、次第に2分の1になっていきます。

…→1.0000004→1.0000002→1.0000001→1
√の謎 小数点以下の部分が0.0000004→0.0000002→0.0000001と2分の1になる

sin31°の驚異

 関数電卓を手にしたことで電卓遊びはさらにヒートアップしました。それが三角関数の計算です。

 角度モードをdegにして、30→sinとすると0.5が返ってきます。三角定規の直角三角形(30°、60°、90°)において、斜辺の長さ2、高さが1なので、三角比の値がsin30°=1/2=0.5であることを意味していると理解できました。

 「ならば、sin31°は?」

 31→sin とキーを叩くと、0.515038074。これは、31°、59°、90°の直角三角形の斜辺と高さの比が0.5150・・・であることを意味しています。しかし、関数電卓は斜辺と高さをいったいどうやって知ることができるのだろう?

 sinの計算に遭遇したことで私の頭の中に疑問が生まれました。関数電卓の計算アルゴリズムです。√の計算の時には思いもしなかったことです。

sin31°=【関数電卓の計算アルゴリズム】=0.515038074

 たし算とかけ算を根源的な演算とする電子計算機が、すべての計算をたし算とかけ算に帰着させていることになります。関数電卓の計算アルゴリズムに関心を持った理由がそこにあります。

 いったいどのようにsinがたし算とかけ算で計算されているのだろうか、その疑問を引っ提げて私は小学校を卒業します。

高校2年生 正規分布表の謎

 ついに電卓の謎が解かれる時が訪れました。きっかけはやはり数値計算の謎でした。高校2年生の私は、偏差値算出の基本となる正規分布、その数表である正規分布表の算出方法を追いかけていました(下の表)。

(*配信先のサイトでこの記事をお読みの方はこちらで本記事の図表をご覧いただけます。http://jbpress.ismedia.jp/articles/-/48892)

 私の目の前にある4桁の数字でびっしりと埋め尽くされた正規分布表。眺めていると、私にはまたあの疑問が浮かんできました。

 「いったいどうやって正規分布表の数値は計算されたのだろう?」

 正規分布曲線は平均μと標準偏差σをパラメーターに持つ関数で表されます。その曲線によって囲まれた部分の面積が確率を表します。そこでこの曲線を表す関数を確率密度関数と呼ばれます。

正規分布曲線とガウスが描かれた旧10ドイツマルク紙幣


 平均が0、標準偏差が1である標準正規分布曲線が囲む面積(確率)は1です。確率統計の本にはこの正規分布表が載っています。

 その数値(確率)は正規分布曲線で囲まれる面積を表すわけですが、その計算は正規分布の確率密度関数を積分することにより得られます。

 例えば、正規分布表におけるu=1.00に対するp(1)は次のような定積分で与えられます。

 

 したがって、この数値計算の鍵を握るのは次の積分です。

 ところがこれが一筋縄ではいかない積分だったのです。

 高校2年生の私は数学の先生、優秀な先輩、図書館の本にあたってみましたが納得できる答は得られませんでした。

マクローリン級数との出会い

 ついに、ヒントになるテキストを見つけ出しました。翻訳された微分積分学の本の中に書かれた数式に目から鱗が落ちました。関数をマクローリン展開したマクローリン級数です。

マクローリン級数の公式


 √、指数関数、対数関数、そして三角関数、すべて一刀両断に同じような多項式の形に表されている風景に唖然としました。

 はたして私の3つの謎がことごとく解き明かされていく計算過程に衝撃的な感動を覚えました。

小数点以下の部分が2分の1になる√の謎解き

 上記マクローリン級数公式の1番目の式を用いることで説明がつきます。次は2に対して繰り返し√をとっていく計算過程です。整数部分が1、小数部分がxとしてマクローリン級数の数値と電卓の計算結果を比較してみると良い精度で合っていることが確認できます。

 1より大きなどんな数に対しても√を繰り返しとっていけばその値は小さくなり、どこかの段階で整数部分が1になるので、これと同じ説明がつくことになります。

 マクローリン級数の右辺第2項、xの係数が1/2です。これが小数点以下の部分が1/2になる理由です。そして、xが0に近いほど近似の精度は大きくなります。

sin31°の謎解き

 マクローリン級数公式の4番目の式を用いることで説明がつきます。準備として、角度を「°」から「rad(ラジアン)」に変換する計算をします。

31°=π/180× 31rad≒0.541052rad

 この数値をマクローリン級数のxに代入したのが次の計算です。

 sin31°は0.515039と算出されます。電卓の表示「0.515038074」と小数点以下5桁まで合っています。

正規分布表の謎解き

 マクローリン級数公式の2番目の式を用いたp(1)の計算が次です。

 算出された数値0.34134は、正規分布表u=1.00に対するp(u)の数値は0.3413と見事に4桁一致しています。

微分積分学=calculus

 こうして私が小学校から高校まで抱いた3つの数値計算の謎は、マクローリン級数によって解き明かされました。マクローリン級数を生み出したのが微分積分学にほかなりません。

 微分積分学は英語でcalculusと呼ばれます。calculateは「計算する」という動詞、calculatorは「計算機」という名詞、pocket calculatorは「電卓」を表します。

 calculusという名詞自体はそもそも「計算法」という意味です。calcはラテン語で「小石」という意味で、大昔計算に石が用いられていたことがcalc=計算の由来です。

 マクローリン級数が示すように数値計算にとって微分積分は絶大な威力を発揮します。かくして、最強の計算法である微分積分はcalculusと呼ばれるようになりました。私はcalculator(電卓)からcalculus(微分積分学)に導かれたということです。

 私が関数電卓の計算アルゴリズムの正体が、たし算とかけ算でできたマクローリン展開だと信じて疑わなかったことは言うまでもありません。ところが、そうではない衝撃の事実がずっと後になって知ることになります。続きはまた別な機会にしたいと思います。

 今回の主人公マクローリンは、正式名コリン・マクローリン(1698-1746)と言い、スコットランドの数学者です。連載「対数の発見がもたらした大航海時代と技術革新」で紹介した対数の生みの親、ジョン・ネイピア(1550-1617)の故郷です。

 微積分の父、ニュートン(1642-1727)にその才能を認められるほどでした。次回は、ニュートン法による√の計算を取り上げます。

筆者:桜井 進