発売中の『プレジデントFamily2016冬号』。子供に算数を教えられないとお悩みの親御さんの「虎の巻」です。誌面には、東大・慶應大数学科の学生が小中学生時代に愛用していたブロックや対戦ゲームなども紹介。お正月休みに家族で遊べば、思考力・図形センスが伸びる!

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現在発売中の『プレジデントFamily2016冬号』の特集は毎回大好評の「算数」。泣く子も黙る算数のカリスマ先生に、「なぜ円周は直径に3.14を掛けるのか?」「なぜ分数同士の割り算は分母と分子をひっくり返すのか?」といった素朴な質問をぶつけた。目からウロコの簡潔明瞭な回答を読めば、算数・数学が苦手な親でもすぐ子供に教えられて鼻高々!

■学習院初等科のカリスマ教師から算数オンチ編集者への出題

【問題】正2.5角形を描いてください

家族が集まる年末年始。みんなで、こんな算数の難問に挑戦してはいかがだろう? 正3角形でも正5角形でもない。正2.5角形だ。どうですか、描けますか?

この問題を出してくれたのは、いま発売中の『プレジデントFamily 冬号』の算数特集で取材した学習院初等科の大澤隆之教頭先生。「数字アレルギーの母子の素朴な疑問」と題したページで、超初歩的だが普遍的な問いの数々に本質を突いた回答をいただいたので是非お手にとってお読みください(参考記事:なぜ、円周率は3.14なのか http://president.jp/articles/-/20912)。

ところで、数字アレルギーとは何を隠そう私のこと。算数オンチ自らの体当たり取材だったわけです。先生方のご協力のおかげで、多くの「素朴な疑問」は晴れた。だが、取材のあとに大澤教頭先生にお礼のメールをお送りした際、ふとこんなことを尋ねてみた。

「算数・数学が創造性を伸ばすって聞きますが、本当でしょうか?」

しばしば「算数・数学は思考の方法を教えてくれる」「クリエイティブな仕事をするために、算数・数学の考え方が助けになる」という話を取材先で耳にする。だが、根っから算数が苦手な私には、その意味が正直よくわからなかった。だから、聞いてみたのだ。公式のとおりに計算して答えを出すことの多い算数に、果たして思考や創造の余地があるのだろうか、と。

すると、大澤教頭先生から次のような返信が届いた。

「普通、正多角形は、『3以上の自然数の範囲で』というのが常識で、『○角形の○は辺の数』というのが、見えない心の枠です。これを取り払うと、思ってもみない創造ができます。算数や数学は、実は創造性を培う教科なんです」

そして、この文面とともに送られてきたのが冒頭の「正2.5角形」問題だった。

「○角形の○は辺の数」、確かに3角形の辺は3つ。5角形の辺は5つ。3も5も、「3以上の自然数」だ。2角形では形ができない、いうことだとわかる。でも、正2.5角形とは何ぞや? そもそも2.5って自然数ではないような気が……。あー、わけがわからない!

■わからない時は「図を描く」のが難問との戦い方

とてもメールでは済まなそうな内容なので、大澤教頭先生のご厚意に甘えて、私は再度、学習院初等科にお邪魔した。

先生は快く迎えてくれた。そして、順序立てて、「謎解き」をしてくれた。

正対する、算数のカリスマ先生と算数オンチの私。スペシャルな“個別授業”はまず正○角形の定義の確認から始まった。正○角形とは、辺の長さがすべて同じで、内角の大きさもすべて等しい図形だ。ということは、正○角形の○の数値によって内角の角度も変わるということで、その角度がわかれば「答え」を導くことができるかもしれない。

ただし、答えは導けるかもしれないけれど、じゃあ、角度はどう出せば……? と考えあぐねている私に、先生は正5角形を描いて考えてみることを提案してくれた。わからない時は、まず図や絵で描いてみること。名教師が、口を揃える、難問との戦い方だ。

さて、図1を参照してほしい。

正5角形を描いてみると、中に二等辺三角形が5つ入っていることがわかる。二等辺三角形の頂角は「360°÷5」だ。次に底角は、三角形の内角の和180°から頂角を引いて、2で割った(180°−360°÷5)÷2で算出できる。正五角形の内角は、この底角2つぶんになっているから、(180°−360°÷5)÷2×2となる。÷2×2は打消しあっているので、カット。これを正n角形に置き換えると、次のような式になる。

180°−360°÷n

ずいぶんシンプルになった。nに正3角形の「3」を入れて計算してみると、おお、確かに60度になる。正4角形(正方形)の「4」を入れたら、うん、90度だ。正しい。この公式は完璧ですね、先生!

でも……正3角形や正4角形は直感的に図形がイメージできるけれど、正2.5角形の場合ができない。果たして、公式は成立するのか? ちょっとドキドキしながら「2.5」を入れて計算してみると、36°だ。お、割り切れた。では、本当に図形を描けるのか? 期待に胸がふくらむ私。ほとんど未知との遭遇だ。

まず、適当な長さで一辺を描く。とりあえず、5cmとしよう。そして、分度器で36°の角度をとって、5cmを引く。さらに36°の角度をとって線を引くと……最初に書いた線にぶつかってしまう。ここで手がとまる(図2)。あーあ、やっぱり図形なんてできないじゃん。心の中でつぶやく。

「どうしましょう?」と大澤教頭。

どうしましょう? って……。万事休すですよ、先生。算数オンチの私にできるのはここまで。だが、先生はここで、「内角はすべて同じ」以外の正○角形の約束をもう一度思い出してほしいと言った。

えっと、辺の長さはすべて同じ、でしたっけ。

「そうですね。では、線と線がぶつかることは気にせず、書いてみましょう」

は、はい。ということで淡々と36°の角度をとって、5cmの辺を引いた。線と線が何度も交差した。そして最終的に現れた図形を見て、はっと息をのんだ(次ページ図3)。

■算数の神様が、見せてくれた「正2.5角形」

「そうです、星形5角形になるのです。数学の世界で正式には正2分の5角形と呼ばれています。頂点が5つあり、描き始めから2回転して描き終わります。辺は重なり合っているように見えますが、時空が違うところに存在していると考えれば分かりやすいです。その真否はさておき、nは自然数と思っていたのが、2分の5、2.5と設定するところに、論理の飛躍がある。けれど、計算上は成り立つわけですから、それを信じて描いていくと、この図形が現れます」

これが、正2.5角形か! 感動している私に大澤教頭先生は、この世にはこのような計算によって導かれた発見されたことがたくさんあると教えてくれた。

たとえば、冥王星は、計算上、この位置にあるはずだと考えられて、そこを探したところ、見つかったのだとか。また、日本人が発見した新しい元素・ニホニウムも然り。計算にもとづいて実験を繰り返したところ、その合成に成功して、存在を証明したのだという。

先生は目をキラキラさせながら言った。

「算数・数学を使えば、自分で思いもつかないことだって創造できるんです」

創造とは、辞書で調べると「新しいものを初めてつくり出すこと」(デジタル大辞林)とある。大澤教頭先生は、これをかみ砕いて「新しいものは、既成の概念を打ち破ったり、論理的な飛躍をしたりした先に生まれる」と説明する。

「知識には限界があります。6×7=42を単なる(九九の)知識として記憶していたら、忘れてしまったら、もうわからなくなってしまいます。けれど、6×7=42は、6を7回足すという原理がわかっていれば、42にたどりつくことができる。また、3角形の内角の和が180°だと学んだうえで、4角形の内角の和を考える時、4角形の中には2つ3角形が入るから、180°×2=360°だと導き出すことができる。すでに知っていることを使って代替案を考えたり、類推したり、共通のルールを発見したり。算数には、いろいろな思考の道具がつまっています。だから、論理的思考を鍛え、時に自分の発想をも超える創造をもたらしてくれる。ぜひ、時間のある時に、家族みんなであれこれいいながら、算数の問題を解いてほしいと思います」

(プレジデントFamily編集部 森下和海=文)