ブール、29歳の論文「論理学」

 1844年、29歳の青年が発表した論文が世界を変えることになりました。100年後、その理論によって生み出されたのがコンピューターです。

 計算の世界には法則が存在します。

(交換法則)
 1+2=2+1
 2×3=3×2

(分配法則)
 2×(3+4)=(2×3)+(2×4)
(2+3)×4=(2×4)+(3×4)

 さらに、特別な数0と1の存在の必要性です。

 3+0=3
 4×1=4

 こういったお膳立て(ルール)がきちんとできたうえで不自由なくどんな数どうしの計算も行えるようになっています。

 ブールが考えたことは、最小のお膳立てをすることでした。数と数字は0〜9の10個ではなく0と1の2つだけ。2項演算はたし算(+)とかけ算(・)そして補元(| )と呼ばれる3つの演算を考えました。補元とは1に対して0を、0に対して1を返す計算(単項演算)のことです。

 そして、この3つの演算が(交換法則)(分配法則)(0と1の存在)(補元則)というルールを満たすとします。こうして出来上がった小さい計算のお膳立てはうまく機能することが確かめられるのです。

 つまり、この中で不自由なくきちんとどんな計算でもできるということです。

 このような数と演算のお膳立てのことを数学で「代数系」と言います。ブールが考えたお膳立て(0と1、たし算(+)・かけ算(・)・補元(| )は「ブール代数」と呼ばれます。

論理を集合の言葉で語る

 例えば、「すべてのネコは動物である」という文章を考えてみます。この文章は正しいです。では「すべての動物はネコである」はどうでしょうか。明らかに誤りです。

 似たような文章「すべてのラーメンはおいしい」はどうでしょうか。これは正しいとも誤りとも白黒つけらません。

 このように文章は正しいか誤りが明確なものと、そうでないあやふやなものとに区別されます。数学では、この前者を命題と呼びます。「すべてのネコは動物である」とすべての動物はネコである」は命題であり、「すべてのラーメンはおいしい」は命題ではないということです。

 正しい命題のことを「真なる命題」「命題は真」、正しくない命題のことを「偽なる命題」「命題は偽」と言います。この言葉使いは、英語のtrue(真実の)とfalse(偽りの)からきています。

 数学の証明とは、命題が真であることを示すことにほかなりません。また証明とは前提、仮定から結論に至る道筋のことですが、この論証の道筋が論理と呼ばれます。論理学とはものごとの考え方の筋道を研究対象にする学問です。

 論理にとっても集合は基本的概念となります。

 真の命題「すべてのネコは動物である」について、「すべてのネコ」と「動物」はどちらも集合として考えられます。すると、この2つの集合の関係をベン図を用いて表すことができます。

 命題という論理が集合の言葉で語ることができるということです。

命題を計算する

 ブール代数が2つの数0と1だけを持つようにしたのは、論理の説明ででてきた命題を考えたからです。先ほど、命題「すべてのネコは動物である」のところで論理は集合で表現できることを説明しましたが今度は、命題の計算を考えることができるのです。

 いま、命題p:「今日は火曜日である」を考えます。この命題pに対して「否定」した命題を考えることができます。それを¬pと表わすとすると、¬p:「今日は火曜日ではない」となります。

 ここで、命題pの真偽を考えてみると、「今日」が火曜日であれば命題pは真で、そうでなければ命題pは偽となることが分かります。すると、命題¬pの真偽は、命題pが真であれば偽となり、命題pが偽であれば真となることが確かめられます。

 このような命題pや否定命題¬pに対して真または偽を考えることができることを命題の真理値と呼びます。

 同じようにして、2つの命題から1つの命題を作り出す場合についても真理値を考えることができます。

 2つの命題pとqの論理和をp∨qと書き「pまたはq」と読みます。2つの命題pとqの論理積をp∧qと書き「pかつq」と読みます。

 例えば、命題q:「今日は24日」とすれば、論理和p∨q:「今日は火曜日または24日」、論理積p∧q:「きょうは24日の火曜日」となります。

 ここでもまた命題pとqの真理値(真が偽)に対して、論理和p∨qと論理積p∧qの真理値(真が偽)が決まることが分かります。

 このように、命題も演算できるということです。演算とは2つのものから新しい1つを作り出す操作のことでした。

 ∨、∧、¬は論理演算子と呼ばれます。論理の世界にも真理値と演算をペアにしたお膳立てができるということです。このような演算できる論理の世界のことを「命題論理」と呼びます。

 これでブールのアイデアを説明する準備ができました。

 命題論理とブール代数の数と演算を次のように対応させることを考えます。

   命題論理 ↔ ブール代数
      真 ↔ 1
      偽 ↔ 0
   論理和∨ ↔ +
   論理積∧ ↔ ・
    否定¬ ↔ |

 ブールの大発見は、命題論理とブール代数が同型になることだったのです。こうしてブールによって「記号論理学」「数理論理学」が誕生しました。

1937年、シャノンの発見

 ブールによる「記号論理学」「数理論理学」は長い眠りにつくことになりました。100年の眠りを覚ましたのが20世紀、米国の電気工学者にして数学者であるクロード・シャノン(1916-2001)です。

 シャノンは、0と1を用いたブール代数を電気回路とともに現実の目に見える世界に引っ張り出すことに成功しました。

   命題論理 ↔ ブール代数 ↔ 電気回路
      真 ↔ 1     ↔ スイッチON
      偽 ↔ 0     ↔ スイッチOFF
   論理和∨ ↔ +     ↔ OR回路
   論理積∧ ↔ ・     ↔ AND回路
    否定¬ ↔ |      ↔ NOT回路

 それはスイッチのオンとオフがそれぞれ1と0に対応するというシンプルなことが発端でした。はたして、スイッチを組合わせた電気回路が、なんとブール代数における3つの演算(「+」「・」「| 」)に対応することが発見されました。

 スイッチAがオンの場合に「A=1」、オフの場合に「A=0」と表すことにします。すると、演算A+Bを表す電気回路はスイッチの並列回路、演算A・Bを表す電気回路はスイッチの直列回路、演算Ãを表す電気回路は反転回路という具合です。

 ブール代数が電線とスイッチで構成された電気回路で実現したことは、電気回路を組み合わせることで様々な演算ができる計算機が実現することを意味します。

 20世紀半ばにシリコン半導体を用いた「トランジスタ」が発明されました。トランジスタは「スイッチ」の働きを持っています。シャノンのアイディアはトランジスタをスイッチとして実際に組み立てられました。この電子回路が「論理回路」と呼ばれるものです。

 「論理回路」ではA+Bを表す並列回路のことを「OR回路」、A・Bを表す直列回路のことを「AND回路」、演算Ãを表す反転回路のことをNOT回路と呼ばれます。論理回路では、ブール代数の1と0は電流が流れているかいないかに対応します。

数学者ジョージ・ブール

 1815年11月2日、ジョージ・ブールは英国で生まれました。学校に通うことができないほど貧しい環境を過ごした少年時代、ブールはほとんど独学で数学を学び、16歳の時、私立学校の数学教師に就任します。

 実家から離れ数学教師の仕事をしながらも数学の勉学に励んだブールは、なんと19歳のときに故郷に学校を設立します。貧しくて学校に行けなかった自分のような子供たちを1人でも減らすためです。

 そして34歳のときに数学の実力が認められ大学の数学教授に就任しました。学校に行けなかったのにもかかわらず数学教授になれたことはブールの数学の実力が認められたことを物語ります。

 ブールは、1844年29歳で「ブール代数」の基礎となる論文を発表し、1947年に「論理学の数学的分析」(Mathematical Analysis of Logic)、1854年39歳のときに「論理と確率の数学的な理論の基礎となる思考法則の研究」を発表しました。

 この本は「ブール代数の原典」と呼ばれています。1864年、49歳の若さで肺炎により永眠しました。

 ブールが考え出した最小の仕組み──0と1の2つの数とたし算、かけ算、補元という3つの演算──が、今日の巨大な世界システムの土台を支えています。

ブール生誕200周年2015年11月2日のGoogleロゴ


 

筆者:桜井 進